1956年　ニ次　幾何　[3] - イガブロギュ

平面上の直交軸に関して, 座標 $(1,0)$ , $(0,3)$ , $(-1,2)$ をもつ 3 点を頂点とする三角形を, $y$ 軸のまわりに回転して生ずる立体の体積を求めよ。

積分を使わなくとも, 円錐の体積を足したり引いたりすれば求まります.

$A(1,0)$ , $B(0,3)$ , $C(-1,2)$ とする.

C と $y$ 軸に関して対称な点を C',
C と C' の中点を D,
直線 AC と $y$ 軸との交点を E,
直線 AB と直線 C'E の交点を F,
F を通り $x$ 軸に平行な直線と $y$ 軸との交点を G とすると,
直線 AC の方程式が $y=-x+1$ であることから $E(0,1)$ ,
直線 AB の方程式が $y=-3x+3$ , 直線 C'E の方程式が $y=x+1$ であることから $F\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$

三角形 BC'D, 三角形 C'DE, 三角形 OAB, 三角形 BFG, 三角形 EFG, 三角形 OAE をそれぞれ $y$ 軸のまわりに回転して生ずる立体の体積をそれぞれ $V_1$ , $V_2$ , $V_3$ , $V_4$ , $V_5$ , $V_6$ とおく.
求める体積 V は
$V=V_1+V_2+V_3-V_4-V_5-V_6$
$= \frac{1}{3}\pi\left{1^2\cdot1+1^2\cdot1+1^2\cdot3-\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{3}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{2}-1^2\cdot1\right}$
$=\frac{7}{6}\pi$

ちなみに, 素直に積分を使って計算すると次のようになります.

$V=\pi\int_{0}^{\frac{3}{2}}\left(-\frac{1}{3}y+1\right)^2dy+\pi\int_{\frac{3}{2}}^{2}(y-1)^2dy+\pi\int_{2}^{3}(-y+3)^2dy-\pi\int_{0}^{1}(-y+1)^2dy=\frac{7}{6}\pi$