1956年　ニ次　幾何　[1] - イガブロギュ

一平面上に定円 O と, その中心 O とは異なる定点 A がある。円 O の任意の直径の両端と点 A とを頂点とする三角形の外心の軌跡を求めよ。

私は幾何が苦手なので, 座標を設定して解いてみます.
この場合, 計算しやすいように点や図形を配置するのが定石です.

座標平面上で円 O の方程式を $x^2+y^2=1$ , 点 A の座標を $(0,a)$ $(a \neq 0)$ としても一般性を失わない.
任意の直径の両端点の座標を $B(\cos\theta,\sin\theta)$ , $C(-\cos\theta,-\sin\theta)$ $(0 \leq \theta < \pi, \theta \neq \frac{\pi}{2})$ とおく.

円の直径が直線 OA 上にあるときは三角形ができないので, $\theta$ の範囲で $\frac{\pi}{2}$ を除外しました.
また, 一方の端点が $x$ 軸の上方にあればもう一方の端点は $x$ 軸の下方にあるので, $\theta$ の範囲は上記のようにして差し支えありません.

外心 P は直線 BC( $y=\tan\theta x$ ) の垂直二等分線 $y=-\frac{1}{\tan\theta}x$ 上にある.

直線 BC の方程式をこのようにおくと, 直線 BC の方程式が $x=0$ である場合を表現できていませんが, その場合は三角形ができないので問題ありません.
点 A を $y$ 軸上に設定したのはそのためです.

$P\left(x,-\frac{1}{\tan\theta}x\right)$ とおくと, PA=PB より
$x^2+\left(-\frac{1}{\tan\theta}x-a\right)^2=(x-\cos\theta)^2+\left(-\frac{1}{\tan\theta}x-\sin\theta\right)^2$
$\frac{2a}{\tan\theta}x+a^2=-2\cos\theta x+\cos^2\theta+\frac{2\sin\theta}{\tan\theta}x+\sin^2\theta$
$\frac{2a}{\tan\theta}x=(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+2\cos\theta x-2\cos\theta x-a^2$
$x=\frac{1-a^2}{2a}\tan\theta$
よって
$P\left(\frac{1-a^2}{2a}\tan\theta,-\frac{1-a^2}{2a}\right)$
ここで, $\tan\theta$ は任意の値をとり, $-\frac{1-a^2}{2a}$ は定数なので, 点 P の軌跡は直線 OA に垂直な直線である.