1957年　一次　理科・衛生看護科　[1]

東大数学

次の□の中に適当な数を記入せよ。
2 点 A((1)□, (2)□), B(4,1) の距離は 5 で, 直線 AB の勾配（傾き）は -\frac{4}{3} である。また, △OAB の面積は (3)□である。ただし, O は座標系の原点であって, △OAB は鈍角三角形である。


A(a,b) とおく.
AB = 5 より
(4-a)^2+(1-b)^2=5^2 …(1)
AB の傾きが -\frac{4}{3}(したがって a\neq4) より
\frac{1-b}{4-a}=-\frac{4}{3}
1-b=-\frac{4}{3}(4-a) …(2)



可能ならばかたまりはかたまりのままで処理するのが賢いやり方です.
例えば (2) を b= などの形にして (1) を展開したものに代入するとなると非常に面倒です.


(2) を (1) に代入して
(4-a)^2+\left{-\frac{4}{3}(4-a)\right}^2=25
(4-a)^2=9
a=1 or a=7


a=1 のとき
(2) より b=5
OA^2=1^2+5^2=26
OB^2=4^2+1^2=17
AB^2=5^2=25
よって, 最も長い辺は OA であり, [tex:OA^2OB^2+AB^2] より, △OAB は鈍角三角形となり条件を満たす.



2 点 A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) に対して, △OAB の面積は
\frac{1}{2}\left|x_1y_2-x_2y_1\right|
です.


このときの面積は
\frac{1}{2}\left|7\cdot1-(-3)\cdot4\right|=\frac{19}{2}