1957年　一次　理科・衛生看護科　[3]

次の□の中に適当な数を記入せよ。
$t$ があらゆる実数値にわたって変動するとき
$x=2t^2-4t+5$ , $y=3t^2+at+7$ ( $a$ は定数)
を座標にもつ点 $P(x,y)$ は, 定直線
$Ax+By=1$
の上にあるものとする。このとき, $a$ , $A$ , $B$ の値はそれぞれ
$a=$ (8)□, $A=$ (9)□, $B=$ (10)□
である。そして, 点 $P$ から原点までの距離が最小値をとるのは
$t=$ (11)□
のときであって, その最小値は(12)□である。

$x=2t^2-4t+5$ , $y=3t^2+at+7$ を $Ax+By=1$ に代入して
$A(2t^2-4t+5)+B(3t^2+at+7)=1$
$(2A+3B)t^2+(-4A+aB)t+(5A+7B-1)=0$
これが $t$ についての恒等式になるので
$\left\{\begin{array}{l}2A+3B=0 \\ -4A+aB=0 \\ 5A+7B-1=0 \end{array}\right.$
これより
$A=3$ , $B=-2$ , $a=-6$
点 $P$ から原点までの距離を $d$ とおくと
$d^2=x^2+y^2=(2t^2-4t+5)^2+(3t^2-6t+7)^2=13t^4-52t^3+114t^2-124t+74$
これを $f(t)$ とおくと
$f'(t)=52t^3-156t^2+228t^2-124=4(t-1)(13t^2-26t+31)$
ここで, 方程式 $13t^2-26t+31=0$ の判別式を $D$ とおくと $\frac{D}{4}=13^2-13*31<0$
よって, $f(t)$ の増減表は次のようになる.
$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline t & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(t) & - & 0 & + \\ \hline f(t) & \searrow & 25 & \nearrow \\ \hline\end{array}$
ゆえに, $t=1$ のとき $d$ は最小で $d=\sqrt{25}=5$