1957年　一次　理科・衛生看護科　[4]

次の各図形の面積を大きさの順に並べ, 不等式
(13)□ $<$ (14)□ $<$ (15)□ $<$ (16)□
が成り立つようにするには, □の中にそれぞれどれを入れればよいか。
イ　原点を中心とし半径 6 の円の内部と, 点 $(0,12)$ を中心とし半径 $6\sqrt{3}$ の円の内部との共通部分。
ロ　楕円 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ の内部。
ハ　放物線 $12y=x^2$ と直線 $x-12y+72=0$ とが囲む図形。
ニ　四点
$(5\cos0^{\circ},5\sin0^{\circ})$ ,
$(5\cos60^{\circ},5\sin60^{\circ})$ ,
$(5\cos180^{\circ},5\sin180^{\circ})$ ,
$(5\cos(-60)^{\circ},5\sin(-60)^{\circ})$
を頂点とする四辺形の内部。
ただし, 円周率 $\pi=3.14$ , $\sqrt{3}=1.73$ , $\sqrt{2}=1.41$ とする。

（イ）

$x^2+y^2=6^$ , $x^2+(y-12)^2=(6\sqrt{3})^2$ を連立して解いて $x=\pm3\sqrt{3}$ , $y=3$
よって, 図で
$P(0,12)$ , $A(3\sqrt{3},3)$ , $B(-3\sqrt{3},3)$ である.
∠ $AOB=120^{\circ}$ , ∠ $APB=60^{\circ}$ であるから, 求める面積は
扇型OAB-△OAB+扇型PAB-△PAB
$=\pi\times6^2\times\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\times6^2\times\sin120^{\circ}+\pi\times(6\sqrt{3})^2\times\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times(6\sqrt{3})^2\times\sin60^{\circ}$
$=30\pi-36\sqrt{3}$
$=31.92$

（ロ）
楕円の方程式を $y$ について解くと $y=\pm\frac{2}{3}\sqrt{2}\sqrt{9-x^2}$
よって, 求める面積は
$4\int_{0}^{3}\frac{2}{3}\sqrt{2}\sqrt{9-x^2}=4\times\frac{2}{3}\sqrt{2}\times\pi\times3^2\times\frac{1}{4}=6\sqrt{2}\pi=26.5644$

ここで, $\int_{0}^{3}\sqrt{9-x^2}$ が原点を中心とする半径 3 の円の面積の $\frac{1}{4}$ であることを使いました.
置換積分を使うより速いです.
ちなみに, 楕円の面積を求める公式もあり, 楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ の面積は $\pi ab$ で表されます.
証明は簡単で, 計算するだけでできますが, 円 $x^2+y^2=a^2$ （面積は $\pi a^2$ ）を縦に $\frac{b}{a}$ 倍したものがこの楕円であることを考えると, 結果は自明です.