1957年　一次　文科　[1]

東大数学

次の□の中に適当な数を記入せよ。
2 点 A((1)□,(2)□), B(-1,3) を結ぶ線分の垂直 2 等分線の方程式は
x/(3)□-y/(4)□=1
である。また, 2 点 A, B から等距離にある x 軸上の点は (3,0) であり, y 軸上の点は (0,-6) である。


A の座標を (a,b) とおく.
2 点 (3,0), (0,-6) は 2 点 A, B から等距離にあるので
(a-3)^2+(b-0)^2=(-1-3)^2+(3-0)^2
(a-0)^2+(b+6)^2=(-1-0)^2+(3+6)^2
これを解いて
a=-1, b=3 or a=\frac{39}{5}, b=-\frac{7}{5}
ただし, (-1,3) は B に一致するので不適.
よって, A の座標は (\frac{39}{5},-\frac{7}{5})



2 点 (x_0,0), (0,y_0) を通る直線の方程式は
\frac{x}{x_0}+\frac{y}{y_0}=1
です.
証明は簡単です.
穴埋め問題の場合には積極的に使いましょう.
この問題では A, B の座標から垂直 2 等分線の方程式を求めることもできますが, 計算量が多くなって大変です.


線分 AB の垂直 2 等分線の方程式は
\frac{x}{3}+\frac{y}{-6}=1
つまり
\frac{x}{3}-\frac{y}{6}=1