1957年　一次　文科　[2]

東大数学

次の□の中に適当な数を記入せよ。
x=3 のとき最大値 m をとる x の二次関数
y=ax^2+bx+\frac{1}{4a}
の x=1 のときの値が -2 であるとする。このとき, a, b, m の値はそれぞれ
a=(5)□, b=(6)□, m=(7)□ である。


平方完成して
y=ax^2+bx+\frac{1}{4a}=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{1-b^2}{4a}
題意より a<0 で
-\frac{b}{2a}=3
b=-6a …(1)
また, x=1 のとき y=-2 だから
-2=a+b+\frac{1}{4a}
これに (1) を代入して整理すると
(2a-1)(10a+1)=0
a<0 より a=-\frac{1}{10}
これを (1) に代入して b=\frac{3}{5}
このとき,
m=\frac{1-b^2}{4a}=-\frac{8}{5}
以上により
a=-\frac{1}{10}, b=\frac{3}{5}, m=-\frac{8}{5}