イガブロギュ

1957年　一次　文科　[3]

東大数学

次の□の中に適当な正の数を記入せよ。
三次方程式 $x^3-$ (8)□ $x^2+25x-26=0$
の 3 つの根は
2, (9)□ $+$ (10)□ $i$ , (11)□ $-$ (12)□ $i$
である。ただし, $i=\sqrt{-1}$

三次方程式を $x^3-ax^2+25x-26=0$ とおく.
2 を代入して
$8-4a+50-26=0$ , $a=8$
このとき
$x^3-8x^2+25x-26=(x-2)(x^2-6x+13)$

因数定理により, 2 を根にもつなら x-2 で割り切れることを使いました.

$x^2-6x+13=0$ を解いて
$x=3\pm2i$