1957年　一次　文科　[4] - イガブロギュ

次の□の中に適当な数を記入せよ。
$a$ を任意の定数とするとき, 円
$(x^2+y^2-25)+a(2x-y-10)=0$
は 2 つの定点 ((13)□,(14)□), (5,(15)□) を通り, その中心はつねに直線 $x+$ (16)□ $y=$ (17)□ の上にある。

連立方程式
$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-25=0 \\ 2x-y-10=0 \end{array}\right.$
の解 $x$ , $y$ を座標としてもつ点 $(x,y)$ は $a$ の値によらずつねに円 $(x^2+y^2-25)+a(2x-y-10)=0$ …(1)上にある.
連立方程式を解くと
$x=3$ , $y=-4$ or $x=5$ , $y=0$
よって, 円(1) は 2 つの定点 $(3,-4)$ , $(5,0)$ を通る.
(1) を変形すると
$(x+a)^2+\left(y-\frac{a}{2}\right)^2=\frac{5}{4}a^2+10a+25$
ゆえに, 円の中心の座標は $\left(-a,\frac{a}{2}\right)$
したがって, 円の中心はつねに直線 $y=-\frac{1}{2}x$ , つまり $x+2y=0$ の上にある.