1957年　一次　文科　[5] - イガブロギュ

次の不等式を満足する整数 $n$ の値を求め, それぞれ答案用紙の数字のわくの (18), (19), (20) の解答欄に記入せよ。
(18) $2^n<3^{20}<2^{n+1}$
(19) $\cos^n30^{\circ}>\left(\frac{1}{2}\right)^{30}>\cos^{n+1}30^{\circ}$
(20) $\log_{2^{n+1}}15<\log_{10}3<\log_{2^n}15$
ただし, $\log_{10}2=0.3010$ , $\log_{10}3=0.4771$ とする。

(18)
各辺の常用対数をとって
$n\log_{10}2<20\log_{10}3<(n+1)\log_{10}2$
[tex:n<\frac{20\log_{10}3}{\log_{10}2}\left(\frac{1}{2}\right)^{30}>\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}]
各辺の常用対数をとって
$n\log_{10}\frac{\sqrt{3}}{2}>30\log_{10}\frac{1}{2}>(n+1)\log_{10}\frac{\sqrt{3}}{2}$ …(1)
ここで,
$\log_{10}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\log_{10}3-\log_{10}2=\frac{1}{2}\times0.4771-0.3010=-0.06245<0$
$30\log_{10}\frac{1}{2}=-30\log_{10}2=-30\times0.3010=-9.03$
よって, (1) の両辺を $\log_{10}\frac{\sqrt{3}}{2}$ で割って
[tex:n<\frac{30\log_{10}\frac{1}{2}}{\log_{10}\frac{\sqrt{3}}{2}}
負の数で割ったので, 不等号の向きが変わりました.

[tex:n<\frac{-9.03}{-0.06245}
$\log_{2^n}15$ というのは $\log_{(2^n)}15$ のことのようです.
私は $(\log_{2}15)^n$ のことだと思って計算したのですが, 本の解答を読んだら違いました.
このブログの表記では違いは明らかですが, 本の表記では判別が困難でした.