1957年　二次　解析2　[1]

時刻 $t$ における 2 点 $P(x,y)$ , $P'(x',y')$ の座標が
$\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=20t-4t^2 \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}x'=5-t \\ y'=h \end{array}\right.$
という関係式によって与えられているとき, この 2 点間の距離が最小となる時刻を求めよ。

$P'P^2=(5-2t)^2+(h+4t^2-20t)^2=(2t-5)^2+\{(2t-5)^2-25+h\}^2$
$(2t-5)^2=u$ とおくと
$P'P^2=u^2+(u^2+h-25)^2=u^4+(2h-49)u^2+(h-25)^2=\left(u+\frac{2h-49}{2}\right)^2-h+\frac{99}{4}$
$u\geq0$ なので

(i) $-\frac{2h-49}{2}\geq0$ のとき, つまり [tex:0\frac{49}{2}] のとき
$u=0$ のとき最小で, $(2t-5)^2=0$ より $t=\frac{5}{2}$

以上により
[tex:0\frac{49}{2}] のとき $t=\frac{5}{2}$

もし, 最初に適当な置き換えを行わないと
$P'P^2=16t^4-160t^3+(404+8h)t^2+25+h$
これを $f(t)$ とおくと
$f'(t)=64t^3-480t^2+(808+16h)t-20-40h=4(2t-5)(8t^2-40t+2h+1)$
この因数分解を行うのは困難だと思われます.
因数分解後は $8t^2-40t+2h+1=0$ の判別式 $8(49-2h)$ の値によって場合分けをすることになります.
方程式 $8t^2-40t+2h+1=0$ の解を $f(t)$ に代入したりすると, もう大変です.