1958年　一次　文科　[5]

東大数学

y=\log_{x}2 のとき, 記号イロハニを次の□の中に入れて, 不等式 (17)□<(18)□<(19)□<(20)□ が成り立つようにせよ。ただし, x=\tan230^{\circ} のときの y の値をイ, x=\tan605^{\circ} のときの y の値をロ, x=\sin1100^{\circ} のときの y の値をハ, x=\cos770^{\circ} のときの y の値をニで表す。


\tan230^{\circ}=\tan50^{\circ}
\tan605^{\circ}=\tan65^{\circ}
\sin1100^{\circ}=\sin20^{\circ}
\cos770^{\circ}=\cos50^{\circ}


0^{\circ}\leq\theta\leq90^{\circ} で \sin\theta は単調増加, \cos\theta は単調減少, \tan\theta は単調増加だから
\sin20^{\circ}<\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}=\cos60^{\circ}<\cos50^{\circ}<\cos0^{\circ}=1=\tan45^{\circ}<\tan50^{\circ}<\tan65^{\circ}
したがって
\sin1100^{\circ}<\cos770^{\circ}<1<\tan230^{\circ}<\tan605^{\circ}


ここで, y=\log_{x}2=\frac{1}{\log_2{x}} (底の条件より x>0, x\neq1) であり, \log_2{x} は単調増加だから
[tex:00] かつ \log_{x}2 は単調減少.


以上により
\log_{\cos770^{\circ}}2<\log_{\sin1100^{\circ}}2<\log_{\tan605^{\circ}}2<\log_{\tan230^{\circ}}2