1958年　二次　解析1　[2]

変量 $y$ が変量 $x$ に正比例することは理論的にわかっているが, 比例定数 $a$ の値がわからない。そこで, $x=2$ , $3$ , $4$ のときの $y$ の値を測ったところ, それぞれ $3.1$ , $4.4$ , $5.6$ という測定値を得た。 $a$ の値をかりに定めたとき
$3.1-2a$ , $4.4-3a$ , $5.6-4a$
をそれぞれ $x=2$ , $3$ , $4$ に対応する $y$ の測定の誤差とみなす。
このとき,
(1) 誤差の $2$ 乗の和が最小になるように $a$ の値を定めよ。
(2) 誤差の絶対値の和が最小になるように $a$ の値を定めよ。
ただし, 小数第 $3$ 位を四捨五入して小数第 $2$ 位まで求めよ。

$x=2$ , $3$ , $4$ のときの $y$ の本当の値はそれぞれ $2a$ , $3a$ , $4a$ なので, 測定値との差である $3.1-2a$ , $4.4-3a$ , $5.6-4a$ をそれぞれの測定の誤差とみなすことができる, ということです.

(1)
誤差の $2$ 乗の和は
$(3.1-2a)^2+(4.4-3a)^2+(5.6-4a)^2$
$=29a^2-83.6a+60.33$
$=29\left(a-\frac{41.8}{29}\right)^2-29\left(\frac{41.8}{29}\right)^2+60.33$
よって, $a=\frac{41.8}{29}$ ≒ $1.44$ のとき, 誤差の $2$ 乗の和が最小になる.

(2)
誤差の絶対値の和 $f(a)$ は
$f(a)=|3.1-2a|+|4.4-3a|+|5.6-4a|$

$\frac{3.1}{2}=1.55$ , $\frac{4.4}{3}=1.4\dot{6}$ , $\frac{5.6}{4}=1.4$
であるから
(i)
$a\leq1.4$ のとき
$|3.1-2a|\geq0$ , $|4.4-3a|\geq0$ , $|5.6-4a|\geq0$ より
$y=f(a)$ のグラフの傾きは $-2a-3a-4a=-9a$
(ii)
$1.4 \leq a \leq 1.4\dot{6}$ のとき
$|3.1-2a|\geq0$ , $|4.4-3a|\geq0$ , $|5.6-4a|\leq0$ より
$y=f(a)$ のグラフの傾きは $-2a-3a+4a=-a$
(iii)
$1.4\dot{6} \leq a \leq 1.55$ のとき
$|3.1-2a|\geq0$ , $|4.4-3a|\leq0$ , $|5.6-4a|\leq0$ より
$y=f(a)$ のグラフの傾きは $-2a+3a+4a=5a$
(iv)
[tex:1.55
実は, 傾きを具体的に求めなくともグラフが折れ線になることは明らかなので, $a=1.4\dot{6}$ で最小になることも明らかです.
ちなみに, グラフは次のようになります.
見やすいように, 縮尺は適当に変えてあります.
Mathematica での描画には限界があるので, 何か別のソフトが欲しいです.