1958年　二次　解析1　[3]

$1$ 平面上の $2$ 点 $P(x,y)$ , $Q(X,Y)$ の座標の間に
$X=\frac{x}{x^2+y^2}$ , $Y=-\frac{y}{x^2+y^2}$
という関係がある。このとき, 点 $P(x,y)$ が, 不等式
$(4x+3y-5)(4x-3y+5)>0$
で表される範囲を動くとき, 点 $Q(X,Y)$ はどのような範囲を動くか。 $P$ の動く範囲および $Q$ の動く範囲に斜線を引いて, これらを示せ。

$(4x+3y-5)(4x-3y+5)>0$ について
(i) $4x+3y-5>0$ かつ $4x-3y+5>0$ のとき
$y>-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$ かつ $y<\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$
(ii) $4x+3y-5<0$ かつ $4x-3y+5<0$ のとき
$y<-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$ かつ $y>\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$
これらを図示すると, 次のようになる.

$X=\frac{x}{x^2+y^2}$ …(1), $Y=-\frac{y}{x^2+y^2}$ …(2), $x^2+y^2>0$ より
$X^2+Y^2=\frac{1}{x^2+y^2}>0$ であるから, (1), (2) より
$X=x(X^2+Y^2)$ , $Y=-y(X^2+Y^2)$
よって
$x=\frac{X}{X^2+Y^2}$ , $y=-\frac{Y}{X^2+Y^2}$
これらを $(4x+3y-5)(4x-3y+5)>0$ に代入して整理すると
$-\left(\frac{5}{X^2+Y^2}\right)^2\left(X^2+Y^2-\frac{4}{5}X+\frac{3}{5}Y\right)\left(X^2+Y^2+\frac{4}{5}X+\frac{3}{5}Y\right)>0$
$\left\{\left(X-\frac{2}{5}\right)^2+\left(Y+\frac{3}{10}\right)^2-\frac{1}{4}\right\}\left\{\left(X+\frac{2}{5}\right)^2+\left(Y+\frac{3}{10}\right)^2-\frac{1}{4}\right\}<0$
よって
$\left(X-\frac{2}{5}\right)^2+\left(Y+\frac{3}{10}\right)^2-\frac{1}{4}>0$ かつ $\left(X+\frac{2}{5}\right)^2+\left(Y+\frac{3}{10}\right)^2-\frac{1}{4}<0$
または
$\left(X-\frac{2}{5}\right)^2+\left(Y+\frac{3}{10}\right)^2-\frac{1}{4}<0$ かつ $\left(X+\frac{2}{5}\right)^2+\left(Y+\frac{3}{10}\right)^2-\frac{1}{4}>0$
これらを図示すると, 次のようになる.