1959年　一次　理科・衛生看護学科　[5]

次の□の中に適当な数を記入せよ。
図のような 'へい' PQR を境界とする土地がある。この土地の一隅に 'さく' XYZ, X'Y' を作って長方形の地面 XYY'X' と台形の地面 X'Y'ZQ を囲み, 長方形の面積 A が台形の面積 B の 2 倍となるようにする。いま, 'さく' の全長を 30 m とするとき, 総面積 A+B を最大にするには XY=(17)□m, YY'=(18)□m, Y'Z=(19)□m にすればよい。そのとき, A+B=(20)□ $m^2$ になる。

$XY=a$ , $YY'=b$ , $Y'Z=c$ とおく.

$X'Y'=XY=a$ より
$2a+b+c=30$ …(1)

$A=ab$ …(2)

Q から Y'Z に下ろした垂線の足を H とすると ∠QZY' $=45^{\circ}$ より $HZ=QH=a$ なので $X'Q=Y'Z-HZ=c-a$
よって
$B=\frac{1}{2}(c-a+c)a=\frac{1}{2}(-a+2c)a$ …(3)

$A=2B$ だから (2), (3) より
$ab=(-a+2c)a$
$a>0$ より
$b=-a+2c$
$c=\frac{a+b}{2}$ …(4)
(1) に代入して
$2a+b+\frac{a+b}{2}=30$
$b=-\frac{5}{3}a+20$ …(5)
このとき
$A+B=A+\frac{1}{2}A=\frac{3}{2}ab=\frac{3}{2}a\left(-\frac{5}{3}a+20\right)=-\frac{5}{2}(a-6)^2+90$
よって, $a=6$ のとき $A+B$ は最大値 $90$ をとり, このとき (5) より $b=10$ , さらに (4) より $c=8$