1959年　一次　文科　[1] - イガブロギュ

次の□の中に適当な数を記入せよ。
平行四辺形 ABCD において, 辺 AB の方程式は $3x-4y+1=0$ , 辺 AD の方程式は $2x+3y-5=0$ であり, 頂点 C の座標が $(2,6)$ であるとき, 頂点 B の座標は ((1)□, (2)□), 頂点 D の座標は ((3)□, (4)□) である。

直線 $ax+by+c=0$ に平行で点 $(x_1,y_1)$ を通る直線の方程式は
$a(x-x_1)+b(y-y_1)=0$
です.
実際,
$b\neq0$ のとき, 傾きは $-\frac{a}{b}$ なので $y-y_1=-\frac{a}{b}(x-x_1)$ から得られますし,
$b=0$ のとき, $a\neq0$ より直線 $ax+by+c=0$ は $y$ 軸に平行な直線( $x=-\frac{c}{a}$ )で, これと平行で $(x_1, y_1)$ を通ることから $x=x_1$ となり, $a\neq0$ より, これは上の式に含まれます.
ベクトルの考え方でも説明できます.
直線 $ax+by+c=0$ の方向ベクトルは $(b,-a)$ で, これに垂直に交わる方向ベクトルの一つは $(b,-a)(a,b)=0$ より $(a,b)$ で, 求める直線上の任意の点 $(x,y)$ について, ベクトル $(x-x_1,y-y_1)$ がベクトル $(a,b)$ に垂直に交わることから $(a,b)(x-x_1,y-y_1)=0$
これより $a(x-x_1)+b(y-y_1)=0$ となります.

辺 AB の方程式は $3x-4y+1=0$ …(1)
辺 AD の方程式は $2x+3y-5=0$ …(2)

辺 BC の方程式は, 辺 AD に平行で $C(2,6)$ を通ることから $2(x-2)+3(y-6)=0$ , $2x+3y-22=0$ …(3)
辺 CD の方程式は, 辺 AB に平行で $C(2,6)$ を通ることから $3(x-2)-4(y-6)=0$ , $3x-4y+18=0$ …(4)