1959年　一次　文科　[2] - イガブロギュ

次の□の中に下のイ　ロ　ハ　ニのうち適当なものを記入せよ。
$x$ の二次方程式 $x^2-px-1=0$ の 2 つの実根のうち小さい方を $\alpha$ とし, 大きい方を $\beta$ とする。
$p$ が正の範囲で増加するとき, $\alpha$ は(5)□, $\beta$ は(6)□。
また $p$ が負の範囲で増加するとき, $\alpha$ は(7)□, $\beta$ は(8)□。
イ　正であって増加する
ロ　正であって減少する
ハ　負であって増加する
ニ　負であって減少する

二次方程式を解くと
$\alpha=\frac{p-\sqrt{p^2+4}}{2}$
$\beta=\frac{p+\sqrt{p^2+4}}{2}$

$p=\sqrt{p^2}<\sqrt{p^2+4}$ より, $p$ の符号によらず
$\alpha<0$ , $\beta>0$

$\alpha$ を $p$ で微分すると
$\alpha'=1+\frac{p}{\sqrt{p^2+4}}=1\pm\sqrt{\frac{p^2}{p^2+4}}$ ( $p\geq0$ のとき $+$ , $p<0$ のとき $-$ )
$\frac{p^2}{p^2+4}<1$ であるから $\alpha'>0$
よって, $\alpha$ は単調増加.

$\beta$ を $p$ で微分すると
$\beta'=1-\frac{p}{\sqrt{p^2+4}}=1\pm\sqrt{\frac{p^2}{p^2+4}}$ ( $p\geq0$ のとき $-$ , $p<0$ のとき $+$ )
$\frac{p^2}{p^2+4}<1$ であるから $\beta'>0$
よって, $\beta$ は単調増加.

以上により
$p$ が正の範囲で増加するときも, 負の範囲で増加するときも
$\alpha$ は負であって増加し, $\beta$ は正であって増加する.

答えを記号で書くと、ハイハイになります。
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