1959年　二次　数学2　[1]

時刻 $t$ における点 P の位置 $(x,y)$ が次の方程式 (1), (2), (3), (4) によって与えられている。各場合について, $t$ が $0$ から $2\pi$ まで変わるとき点 P のえがく軌跡を下の例にならって図示せよ。

例
$\left\{\begin{array}x=t\\y=t-\frac{1}{2}gt^2 \left(0 \leq t \leq \frac{2}{g}\right)\end{array}\right.$

(1)
$\left\{\begin{array}x=\cos t\\y=2\cos\left(t+\frac{\pi}{2}\right)\end{array}\right.$

(2)
$\left\{\begin{array}x=\cos t\\y=\cos(t+\pi)\end{array}\right.$

(3)
$\left\{\begin{array}x=\cos t\\y=\cos2t\end{array}\right.$

(4)
$\left\{\begin{array}x=\cos t\\y=\cos\left(2t+\frac{\pi}{2}\right)\end{array}\right.$

$0 \leq t \leq 2\pi$ より $\|\sin t\|\leq 1$ , $\|\cos t\|\leq 1$

(1)
$\cos t=x$
$y=2\cos\left(t+\frac{\pi}{2}\right)=-2\sin t$
よって
$\sin t=-\frac{y}{2}$ , $\cos t=x$
ただし, $\|x\|\leq 1$ , $\|\frac{y}{2}\|\leq 1$
$\sin^2 t+\cos^2 t=1$ より
$x^2+\left(\frac{y}{2}\right)^2=1$

(2)
$\cos t=x$
$y=\cos(t+\pi)=-\cos t$
よって
$x+y=0$
ただし, $\|x\|\leq 1$ , $\|y\|\leq 1$

(3)
$\cos t=x$
$y=\cos2t=2\cos^2t-1$
よって
$y=2x^2-1$
ただし, $\|x\|\leq 1$ , $\|y\|\leq 1$

(4)
$x=\cos t$
$y=\cos\left(2t+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin2t=-2\sin t\cos t$

$0 \leq t \leq \pi$ のとき
$\sin t=\sqrt{1-\cos^2x}$ であるから
$y=-2x\sqrt{1-x^2}$
ただし, $\|x\|\leq 1$ , $\|y\|\leq 1$

$\pi \leq t \leq 2\pi$ のとき
$\sin t=-\sqrt{1-\cos^2x}$ であるから
$y=2x\sqrt{1-x^2}$
ただし, $\|x\|\leq 1$ , $\|y\|\leq 1$

$f(x)=-2x\sqrt{1-x^2}$ とおくと
$f'(x)=\frac{2(2x^2-1)}{\sqrt{1-x^2}}$
よって, 増減表(省略)より, $y=-2x\sqrt{1-x^2}$ は, $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ , $t=\frac{\pi}{4}$ のとき極小値 $-1$ , $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ , $t=\frac{3\pi}{4}$ のとき極大値 $1$ をとる.
$y=2x\sqrt{1-x^2}$ も同様に, $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ , $t=\frac{5\pi}{4}$ のとき極小値 $-1$ , $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ , $t=\frac{7\pi}{4}$ のとき極大値 $1$ をとる.

(4) の 2 つのグラフは $x=\pm 1$ のところで ''なめらかに'' つながっていますが, このことは $f'(x)$ 値の $x\rightarrow \pm 1$ での極限を考えることなどにより分かります.
しかしそれだと面倒なので, $x$ を $y$ で表して $y-x$ 座標平面を考えて, 点 $(0,\pm 1)$ における接線の傾きが $0$ であることを示した方がいいかもしれません.
ちなみに, 問題に「例にならって図示せよ」とあるので, 矢印やら $t$ の値を書いた方がいいのですが, Mathematica では限界があるので省略しています.

「東京大学数学入試問題50年」にある (1) の解答の図は誤植ですね.
昨日さぼったので, まだ -3 問….