1960年　一次　理科・衛生看護学科　[1]

東大数学

次の□の中に適当な数を記入せよ。
x が不等式 \frac{x}{x-1}<-1 を満たすあらゆる実数値をとるとき, 関数 \frac{1}{x}, \frac{x^2-x-3}{x-2} のとる値の範囲はそれぞれ不等式
(1)□<\frac{1}{x}<(2)□, (3)□<\frac{x^2-x-3}{x-2}<(4)□
で表される。



場合分けを忘れずに.


x-1>0, つまり x>1 のとき
\frac{x}{x-1}<-1 より
x<-(x-1)
x<\frac{1}{2}
これは x>1 に反する.


x-1<0, つまり x<1 のとき
\frac{x}{x-1}<-1 より
x>-(x-1)
x>\frac{1}{2}
x<1 とあわせて
[tex:\frac{1}{2}0] であるから, (1) の両辺を x で割って
\frac{1}{2x}<1<\frac{1}{x}
これより
1<\frac{1}{x}<2



逆数をとってもできます.
[tex:0\frac{1}{x}>1] がいえます.



次です.
分子の次数の方が分母の次数より大きければ, "次数下げ" が定石です.


\frac{x^2-x-3}{x-2}=x+1-\frac{1}{x-2}=f(x) とおく.
f'(x)=1+\frac{1}{(x-2)^2}>0
よって f(x) は単調増加関数であるから, (1) より
[tex:f\left(\frac{1}{2}\right)