1960年　ニ次　数学1　幾何　[1]

三角形 ABC の外心を O とし, 3 辺 BC, CA, AB に関して O と対称な 3 点をそれぞれ A', B', C' とするとき, 三角形 A'B'C' は三角形 ABC に合同であることを証明せよ。

三角形の合同条件には 3 つありますが, ここでは 3 つの辺, 角についての条件が対等なので, 「三辺がそれぞれ等しい」を使うだろうと予測します.
そもそも, 他の合同条件においても少なくとも一辺は等しいことを証明しないといけないので, それならば他の二辺も同様にできるはずです.

図で, $HO=HA'$ , $HB=HC$ , ∠ $OHB=$ ∠ $OHC=$ ∠ $A'HB=$ ∠ $A'HC=90^{\circ}$
よって, 二辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△OHB≡△OHC≡△A'HB≡△A'HC
よって, $OB=OC=A'B=A'C$ …(1)
同様にして, $OC=OA=B'C=B'A$ …(2)
(1), (2) より $A'B=B'A$ …(3)
また, (1) より四角形 OBA'C は平行四辺形なので, $A'B//CO$
同様にして $B'A//CO$
よって, $A'B//B'A$ …(4)
(3), (4) より, 四角形 ABA'B' は平行四辺形.
よって, $AB=A'B'$
ここまでと同様にして $BC=B'C'$ , $CA=C'A'$
よって, 三辺がそれぞれ等しいので, △ABC≡△A'B'C'