1960年　ニ次　数学3　[1]

放物線 $y=x^2+\frac{1}{4}$ の頂点と異なる $1$ 点における接線と法線（接点を通り, 接線に垂直な直線）が $x$ 軸と交わる点をそれぞれ P, Q とするとき, 線分 PQ の長さの最小値を求めよ。

接点の座標を $\left(t,t^2+\frac{1}{4}\right)$ とおく.
また, $y'=2x$ .

接線の方程式は
$y=2t(x-t)+t^2+\frac{1}{4}$
$y=2tx-t^2+\frac{1}{4}$
P の $x$ 座標は, $y=0$ とおいて
$2tx-t^2+\frac{1}{4}=0$
$x=\frac{t}{2}-\frac{1}{8t}$

法線の方程式は
$y=-\frac{1}{2t}(x-t)+t^2+\frac{1}{4}$
$y=-\frac{1}{2t}x+t^2+\frac{3}{4}$
Q の $x$ 座標は, $y=0$ とおいて
$-\frac{1}{2t}x+t^2+\frac{3}{4}=0$
$x=2t^3+\frac{3}{2}t$

よって,
$PQ=\left|\left(2t^3+\frac{3}{2}t\right)-\left(\frac{t}{2}-\frac{1}{8t}\right)\right|$
$=\left|2t^3+t+\frac{1}{8t}\right|$ …(1)

グラフは $y$ 軸に関して対称であるから, $t>0$ として考えてよい.
$f(t)=2t^3+t+\frac{1}{8t}$ とおく.
$t>0$ より, $f(t)>0$ であるから, $PQ=f(t)$ である.
$f'(t)=\frac{(4t^2+1)(12t^2-1)}{8t^2}$
よって, 増減表（省略）により, [tex:0
進捗状況+3です。
この調子でがんばります.