1960年　ニ次　数学2　[2]

1 辺 100 m の正方形の広場の 1 つの角に直立する高さ 60 m の棒があり, 地上 10 m の所から上だけ赤く塗ってある。この広場の 1 点から棒の赤い部分を見込む角を $\alpha$ とするとき, $\alpha\geq45^{\circ}$ であるような広場の部分の面積を求めよ。

角度は P から A までの距離にのみ依存するので, PA を $x$ m とおいて計算します.
座標を設定して, 例えば $P(x,y,0)$ , $A(0,0,0)$ , $B(0,0,10)$ , $C(0,0,60)$ などとして計算してもできますが, 変数が 2 つになってしまい, やや面倒です.

$PA=x$ m とおくと, 余弦定理より
$\cos\alpha=\frac{PB^2+PC^2-BC^2}{2PB\cdot PC}$
$=\frac{\sqrt{x^2+10^2}^2+\sqrt{x^2+60^2}^2-50^2}{2\sqrt{x^2+10^2}\sqrt{x^2+60^2}}$
$=\frac{x^2+600}{\sqrt{x^2+100}\sqrt{x^2+3600}}\leq\cos45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
よって
$\sqrt{2}(x^2+600)\leq\sqrt{x^2+100}\sqrt{x^2+3600}$
両辺を 2 乗して整理すると
$(x^2-400)(x^2-900)\leq0$
$400\leq x^2\leq900$
$x>0$ より $20\leq x\leq30$
以上により, 求める広場の部分は, それぞれ A を中心とする半径 20 m の四分円と半径 30 m の四分円にはさまれた部分である.
したがって, 求める面積は
$\frac{1}{4}\pi(30^2-20^2)=125\pi$