べき乗の和を基本対称式で表す

定数係数線形差分方程式について考えているうちに、次のような問題に突き当たりました。

$\sum_{i=1}^rx_i^n$
は、
$x_1, x_2, \cdots, x_r$
の基本対称式の多項式として、どのように表されるか。

例えば、r=5として
$x_1^n+x_2^n+x_3^n+x_4^n+x_5^n$
は、基本対称式を
$s_1, s_2, s_3, s_4, s_5$
とおくと
n=1のとき
$s_1$
n=2のとき
$s_1^2-2 s_2$
n=3のとき
$s_1^3-3 s_1 s_2+3 s_3$
n=4のとき
$s_1^4-4 s_1^2 s_2+2 s_2^2+4 s_1 s_3-4 s_4$
n=5のとき
$s_1^5-5 s_1^3 s_2+5 s_1 s_2^2+5 s_1^2 s_3-5 s_2 s_3-5 s_1 s_4+5 s_5$
で、表されます。

規則性が見つかりそうで見つからない…。
各項について、添え字と指数の積の和がnに等しいことは分かるのですが、係数の正体が不明です。

…などと考えていたのですが、少し調べてみたら同じ問題が見つかりました。
ニュートンの恒等式と呼ばれているそうです。