グラフの形と判別式の関係

3次関数のグラフは、一般には次のようになります。
…(1)
これは、 $y=x^3 + 2 x^2 - 4 x - 1$ のグラフです。
でもでもっ！次のようなグラフもあります。
…(2)
これは、 $y=x^3$ のグラフです。
(1)はグラフが上がったり下がったりなのに、(2)はグラフが上がりっぱなしですね。
この違いはどこからくるのかー！っていうのが、今日の話です。
そんなわけで、3次関数のグラフが(2)のようになるための必要十分条件を考えてみましょう。
(2)のようになるということは、つまり、導関数が任意のxの値について0以上だということです。
ここで、3次関数を
$y=ax^3+bx^2+cx+d$ , $a>0$
とおくと、
$y'=3ax^2+2bx+c$
なので、これが常に0以上になっていれば良いわけです。
これすなわち、2次方程式
$3ax^2+2bx+c=0$
が高々1つの実数解を持つ、ということです。
したがって、求める条件は、判別式を調べて
$b^2-3ac \leq 0$
と、なります。
わー。簡単っ！
試しに、 $a=1,b=c=3$ としてみると
$y=x^3+3x^2+3x$
のグラフは

と、なりました。
なかなか、いい感じ。
さて、これを一般化するとどうなるでしょうかー。
つまり、「2n+1次関数のグラフが単調増加になるための必要十分条件は何か」という問題を考えることができます。
これについては、またの機会に。