ライガー2

高校数学

前回の記事で、各頂点の極限が存在して各々が一致するということを天下り的に認めていましたが、そのままではキモチワルイので、ちゃんと証明してみましたよ。


以下、p_n(x) などを略して p_n などと書くことにします。


p_{n+2}
= \frac{q_{n+1}+r_{n+1}}{2}
= \frac{\frac{r_n+p_n}{2}+\frac{p_n+q_n}{2}}{2}
=\frac{\frac{q_n+r_n}{2}+p_n}{2}
=\frac{p_{n+1}+p_n}{2}


というわけで、三項間漸化式
p_{n+2}=\frac{p_{n+1}+p_n}{2}
ができましたよっ！


二次方程式
x^2=\frac{x+1}{2}
を解いてみると
x=-\frac{1}{2}, 1
となります。


これらを \alpha, \beta とおくと、色々計算して


p_n
= \frac{(p_2-\beta p_1)\alpha^{n-1}-(p_2-\alpha p_1)^\beta^{n-1}}{\alpha-\beta}
=\frac{p_1+q_1+r_1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n(q_1+r_1-2p_1)


となります。


面倒なので途中式は省略しましたが、興味のある人は自分で計算してみてちょんまげ。誰も計算しないだろうけど。


ともあれ、このようなわけで、
\lim_{n \rightarrow \infty}p_n = \frac{p_1+q_1+r_1}{3}
となります。


わーい。


y 座標についても同様。


故に
\left(\lim_{n \rightarrow \infty}p_n(x), \lim_{n \rightarrow \infty}p_n(y)\right) = \left(\frac{p_1(x)+q_1(x)+r_1(x)}{3}, \frac{p_1(y)+q_1(y)+r_1(y)}{3}\right)
となります。


Q_n, R_n についても同様。


証明終わり！