n次元球の体積（もどき）と表面積（もどき）

こんにちくわ。

半径 $r$ の円の面積は $\pi r^2$ , 円周は $2 \pi r$ .
半径 $r$ の球の体積は $\frac{4}{3}\pi r^3$ , 表面積は $4 \pi r^2$ .

んだらば, $n$ 次元になったらどうなるんだっぺ.
今回は, それがお題です.
長いですよ.

$n$ 次元について考察する前に, まずは円の面積や球の体積をどうやって求めるのか考えてみましょ.

座標平面上で原点を中心として半径が $r$ の円を考えると, 直線 $x = a$ による切り口は, 三平方の定理により, 長さが $2 \sqrt{r^2-a^2}$ の線分になります.
これは, 半径が $\sqrt{r^2-a^2}$ の一次元球の長さと見なすことができますね.
円は左右対称なので, $y$ 軸の右側だけを $0$ から $r$ まで積分して倍にすればよろし.

座標空間上で原点を中心として半径が $r$ の球を考えると, 平面 $x = a$ による切り口は, 半径が $\sqrt{r^2-a^2$ の二次元球（円）です.
あとは円と同様.

この考え方を進めると, 例えば四次元球の $x = a$ による切り口は, 半径が $\sqrt{r^2-a^2}$ の三次元球になっているはずです！
よって, 次の式を得ます.

$n$ 次元球の体積（厳密には超体積と言う）を $V_n(r)$ とおくと
$V_n(r) = 2 \int_{0}^{r}V_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2})dx$ … (1)
です.

さあ, このあとはどうするか.
困りました.
そこで, 色々と調べてみたら, 次のような方法を見つけました.

$V_n(r) = r^n V_n(1)$ でっす.
これは, 相似比から明らかですね.
というわけで, $v_n = V_n(1)$ とおき, まずは $v_n$ を求めれば良さそうです.

あとは, 自分で計算してみました.

$r = 1$ とおくと (1) より
$v_n = 2 \int_{0}^{1}V_{n-1}(\sqrt{1-x^2})dx$
$=2 \int_{0}^{1}v_{n-1} (\sqrt{1-x^2})^{n-1}dx$
$=2 v_{n-1} \int_{0}^{1}(1-x^2)^{\frac{n-1}{2}}dx$

ここで, $I_n = \int_{0}^{1}(1-x^2)^{\frac{n-1}{2}}dx$ とおくと
$v_n = 2 v_{n-1} I_n$ … (2)

$I_n$ を求めます.
$x = \sin \theta$ とおくと
$x:0 \rightarrow 1$ のとき, $\theta:0 \rightarrow \frac{\pi}{2}$ ,
$\frac{dx}{d \theta} = \cos \theta$ より $dx = \cos \theta d \theta$ .
よって $n \geq 2$ のとき, 部分積分を使って
$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\sin^2 \theta)^{\frac{n-1}{2}} \cos \theta d \theta$
$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n \theta d \theta$
$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin \theta)' \cos^{n-1} \theta d \theta$
$=[\sin \theta \cos^{n-1} \theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin \theta \cdot (n-1) \cos^{n-2} \theta \cdot(-\sin \theta) d \theta$
$=(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos^2 \theta) \cos^{n-2} \theta d \theta$
$=(n-1)\left(-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n \theta d \theta + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n-2} \theta d \theta\right)$
$=(n-1)(-I_n + I_{n-2})$

ゆえに
$I_n = (n-1)(-I_n + I_{n-2})$
$I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$

あれまー.
漸化式ですよー.

ちなみに
$I_0 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d \theta = \frac{\pi}{2}$ , $I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos \theta d \theta = 1$ , $I_2 = \frac{2-1}{2}I_0 = \frac{\pi}{4}$
でごわす.

ところで, (2) より $n \geq 3$ のとき,
$v_n = 2 v_{n-1}I_n = 2(2 v_{n-2} I_{n-1})I_n = \cdots = 2^{n-2}v_2 \prod_{i=3}^n I_3$
なのですが, $v_2$ じゃなくて $v_1$ の方がキモチイイので, $n=2$ のときも成り立つように $v_1$ を定めます.
さらに進めて $v_n = 2^{n-1} v_1 \prod_{i=2}^n I_i$ とおくと
$v_2 = 2^{2-1} v_1 I_2 = \frac{\pi}{2}v_1$
$v_2 = \pi$ なので, $v_1 = 2$ と定めればよいことが分かります.
すると, これは半径が $1$ の一次元球の長さになっていて, 整合性が取れていますねっ.
さらに, $I_1 = 1$ より $\prod_{i=2}^n I_i = \prod_{i=1}^n I_i$ なので, $v_1 = 2$ とあわせて
$v_n = 2^n \prod_{i=1}^n I_i$
ということになります.
わー, 簡単ですぅ.

さあ, 次は $\prod_{i=1}^n I_i$ を求めていきますよっ！

$I_{2n} = \frac{2n-1}{2n}I_{2n-2} = \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2}I_{2n-4} = \cdots = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}I_0 = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}$
$I_{2n+1} = \frac{2n}{2n+1}I_{2n-1} = \frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1}I_{2n-3} = \cdots = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}I_1 = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$
ちなみに
$(2n)!! = (2n)(2n-2)(2n-4) \cdots 2$
$(2n+1)!! = (2n+1)(2n-1)(2n-3) \cdots 1$
です.
これは言わば一段飛ばしの階乗で, 二乗階乗と呼ばれるものです.

ちゅーわけで
$I_{2n} I_{2n+1} = \frac{1}{2n+1} \cdot \frac{\pi}{2}$
したがって
$v_{2n+1} = 2^{2n+1} \prod_{i=1}^{2n+1} I_i = 2^{2n+1} \prod_{i=0}^{2n+1} I_i / I_0$
$=2^{2n+1} \frac{1}{(2n+1)!!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n+1}\frac{2}{\pi}$
$=\frac{2^{n+1}}{(2n+1)!!}\pi^n$
となりましたっ！
また,
$v_{2n} = 2^{2n} \prod_{i=1}^{2n} I_i = 2^{2n} \prod_{i=0}^{2n} I_i / I_0 = 2^{2n} \prod_{i=0}^{2n+1} I_i / I_0 / I_{2n+1}$
$=\frac{2^n}{(2n)!!}\pi^n$
でっす！！

ここまでのまとめ.

半径 $1$ の $n$ 次元球の超体積 $v_n$ は
$v_n = \left\{\begin{array} \frac{2^m}{(2m)!!}\pi^m && (n = 2m) \\ \frac{2^{m+1}}{(2m+1)!!}\pi^m && (n = 2m+1) \end{array} \right.$
で表される.

やったね！！！

しかしながら.
二乗階乗などというものは, できれば使いたくありません.
私の美学に反します.
そこで, 普通の階乗を使って表してみますよ.

$(2n)!! = (2n)(2n-2)(2n-4) \cdots 2 = 2^n n(n-1)(n-2) \cdots 1 = 2^n n!$
$(2n+1)!! = (2n+1)(2n-1)(2n-3) \cdots 1 = \frac{(2n+1)!}{(2n)!!} = \frac{(2n+1)!}{2^n n!}$

これらを代入してみると
$v_{2n} = \frac{\pi^n}{n!}$
$v_{2n+1} = 2^{2n+1} \frac{n!}{(2n+1)!} \pi^n$
となります！！！！

偶数次元の場合は, やたらめったら簡単になりましたねっ.
うふふっ！
ちなみに, ネットで $n$ 次元球の超体積について調べてみると, 二乗階乗がそのままだったり, ガンマ関数というものが使われている場合がほとんどです.
実際に自分の手で計算し, かつ, できるだけ式をシンプルにしようという試みは, 非常に大切だと思うのですがっ.

三次元球の表面積にあたるものは, 超体積を半径について微分すれば得られるので, 以上をまとめると次のようになります.

半径 $r$ の $n$ 次元球の超体積 $V_n(r)$ と表面積（のようなもの） $S_n(r)$ は
$V_{n}(r) = \left\{\begin{array} \frac{\pi^m}{m!} r^{2m} && (n = 2m) \\ 2^{2m+1} \frac{m!\pi^m}{(2m+1)!} r^{2m+1} && (n = 2m+1) \end{array} \right.$
$S_{n}(r) = \left\{\begin{array} \frac{2 \pi^m}{(m-1)!} r^{2m-1} && (n = 2m) \\ 2^{2m+1} \frac{m!\pi^m}{(2m)!} r^{2m} && (n = 2m+1) \end{array} \right.$
でございます.

近いうちに続きを書きます.
今回はここまで！！！！！