ゆゆゆむむゆむむ - イガブロギュ

実数 $x$ , $y$ について $x^y$ が有理数なのか無理数なのかは $x$ , $y$ のそれぞれが有理数であるか無理数であるかに依存するんだっぺかどうなんだっぺか.

まずは積について考えてみっぺ.

(1) ゆ×ゆ
$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
なので, ゆ×ゆ = ゆ.

(2) ゆ×む
0×む = 0
これは, ゆ×む = ゆになってる.
また, 0 でない有理数 $\frac{a}{b}$ と無理数 $c$ について
$\frac{a}{b} \times c = m$
とおき, これが有理数と仮定すると
$c = \frac{mb}{a}$
となって矛盾.
よって, このときゆ×む = む.

(3) む×む
$\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$
$\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$
なので, む×む = ゆ or む.

これらを踏まえた上で, 次はべき乗だっぺよ.

(4) ゆ^ゆ
$2^2 = 4$
$2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$
というわけで, ゆ^ゆ = ゆ or む.

(5) ゆ^む
$2^{\log_2 3} = 3$
ここで, $\log_2 3$ が有理数だと仮定して $\frac{a}{b}$ とおくと
$2^{\frac{a}{b}} = 3$ より $2^a = 3^b$
となって矛盾するので $\log_2 3$ は無理数.
よって, これはゆ^む = ゆの例.
$2^{\log_2 \sqrt{3}} = \sqrt{3}$
ここで, $\log_2 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \log_2 3$ は無理数.
よって, これはゆ^む = むの例.

(6) む^ゆ
$\sqrt{2}^2 = 2$
$\sqrt{2}^3 = 2\sqrt{2}$
む^ゆ = ゆ or む.

(7) む^む
$\sqrt{2}^{\log_{\sqrt{2}} 3} = 3$
ここで, $\log_{\sqrt{2}} 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 2^{\frac{1}{2}}} = 2\log_2 3$ で, これは無理数.
よって, む^む = ゆとなっている.
$\sqrt{2}^{\log_{\sqrt{2}} 3\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$
ここで, $\log_{\sqrt{2}} 3\sqrt{2} = \frac{\log_2 3+\log_2 2^{\frac{1}{2}}}{\log_2 2^{\frac{1}{2}}} = 2 \log_2 3 + 1$ で, これは無理数.
よって, む^む = むだ.