いつまで反発するんですか

適当な高さから床に落としたボールは床で跳ね返るわけですが, そこでまた適当な高さまで跳ね上がってまた落ちて、の繰り返し.
果たしてボールは永遠に跳ね返り続けるのか, いつかは停止してしまうのかっ！
ということで, 計算してみたよ.

ボールを落とす高さを $h = h_1$ , 重力定数を $g$ , 反発係数を $e(0 < e < 1)$ とします.
また, 簡単のため, 空気抵抗やら諸々の余計なものは無視します.

跳ね返る直前のボールの速さを $v_1$ , 跳ね返った直後のボールの速さを $v_2$ とおくと
$v_1^2 = 2gh_1$ より $v_1 = \sqrt{2gh_1}$ .
$\frac{v_2}{v_1} = e$ より $v_2 = e v_1 = e \sqrt{2gh_1}$ .

ボールが床に落ちるまでの時間を $t_1$ , 跳ね返って最高点に達するまでの時間を $t_2$ とおくと
$h_1 = \frac{1}{2}g t_1^2$ より $t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$ .
$v_2 - gt_2 = 0$ より $t_2 = \frac{v_2}{g} = e \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$ .

最初に跳ね返ったあとの最高点を $h_2$ とおくと
$v_2^2 = 2gh_2$ より $h_2 = \frac{v_2^2}{2g} = e^2 h_1$ .

以上により
$v_2 = e v_1$
$t_2 = e t_1$
$h_2 = e^2 h_1$
となります。

あらっ. とっても簡単ですねっ.

というわけで,
$n$ 回目の跳ね返りの直前のボールの速さを $v_n$ , 直後の速さを $v_{n+1$ ,
$n-1$ 回目に跳ね返ったあとの最高点を $h_n$ , $n$ 回目に跳ね返ったあとの最高点を $h_{n+1$ ,
$n-1$ 回目に跳ね返って最高点に達してから床に落ちるまでの時間を $t_n$ , $n$ 回目に跳ね返って最高点に達するまでの時間を $t_{n+1}$ とおくと

$v_{n+1} = e v_n$
$t_{n+1} = e t_n$
$h_{n+1} = e^2 h_n$

となって, これは等比数列ですっ！

ではでは.
全ての時間を足し合わせてみましょ.
最初に跳ね返ったあとは, 跳ね返って落ちての繰り返しなので, 各 $t_n$ を倍にしたものを加える必要があります.

$T = t_1 + 2(t_2 + t_3 + \cdots)$
$=2(t_1 + t_2 + t_3 + \cdots) - t_1$
$=2t_1(1 + e + e^2 + \cdots) - t_1$
$=t_1\{2(1 + e + e^2 + \cdots) - 1\}$
$=\sqrt{\frac{2h}{g}}\left(\frac{2}{1-e}-1\right)$
$=\frac{1+e}{1-e}\sqrt{\frac{2h}{g}}$

でっす！

何と, 有限時間内に停止するようです.
それでいて, 有限時間内に無限回, 跳ね返っているようです.
現実にはこんなことはあり得ませんが, なかなか面白い結果になりましたね.

ついでに, ボールが停止するまでに動いた距離も求めてみましょ.

$H = h_1 + 2(h_2 + h_3 + \cdots)$
$=2(h_1 + h_2 + h_3 + \cdots) - h_1$
$=2h_1(1 + e^2 + (e^2)^2 + \cdots) - h_1$
$=h_1\{2(1 + e^2 + (e^2)^2 + \cdots) - 1\}$
$=h_1\left(\frac{2}{1-e^2}-1\right)$
$=\frac{1+e^2}{1-e^2}h$

となりました.
これも有限.

こういった物理の問題を解くときにも, 無限級数などの数学の知識が必要になるのですね.