ビンビンビンゴ

n × n マスからなるビンゴがあり、各マスには 1 〜 n^2 までの数が重複なく書き込まれている。
司会者は 1 〜 n^2 までの数が書かれた n^2 個のボールが入った袋からそれぞれ等確率でボールを取り出し、そこに書かれた数字を読み上げる。
ただし、一度取り出したボールは元に戻さない。
このような試行を n^2 回行うとき、k 回目に初めてビンゴとなる確率を n を用いて表せ。

…このような問題を考えてみたのですが、私は解けませんでした。

n が偶数の場合と奇数の場合とでは問題の質がかなり異なりますので、どちらか一方でも可。一般的には奇数。
それから、フリーのマスはないものとします。