掃除会社 - イガブロギュ

2006年に会社法が制定され, これまであった有限会社は廃止され, 新たに合同会社が設けられました。
合同会社があるのに相似会社はありません。これはおかしなことです。
しかし, 掃除を主な業務とする掃除会社なら存在します。
というわけで, 今日は三角形の合同条件についてです！

三角形の合同条件と言えば, 次の三つがよく知られていますね。

[1]一辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
[2]二辺とその間の角がそれぞれ等しい。
[3]三辺がそれぞれ等しい。

ところで、直角三角形の場合には、別の合同条件があります。

[1]'斜辺と一鋭角がそれぞれ等しい。
[2]'斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい。

直角三角形の場合は, どうしてこのような合同条件が成り立つのでしょうか。
実は, 「斜辺」がキーワードです。
これによって, 直角の対辺であることが確定するところが肝。確定しないとダメ。

例えば, [1] を少し変えて
二角とその間にない一辺がそれぞれ等しい
という条件を考えると, その一辺がどちらの角の対辺であるかが確定しないので, 二角が等しくない限り, 三角形が一つに定まりません。
（図を用意して説明しようとしましたが, 面倒なので省略！）
そうすると, どちらの角の対辺であるか指定すれば, 合同条件になるんじゃね？という疑問が起こります。
実際, なります。やったね！
[4] 二角と, 一方の角の対辺がそれぞれ等しい。
以下, 証明。

△ABCと△A'B'C'において, A=A', B=B', a=a' とする。
このとき, A=A', B=B' より C=C' である。
正弦定理より
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
$\frac{a'}{\sin A'}=\frac{b'}{\sin B'}=\frac{c'}{\sin C'}$
であるから, A=A', B=B', C=C', a=a' より
b=b', c=c'
よって, 三辺が等しいので, △ABCと△A'B'C'は合同である。

わーい！できちゃった！
じゃあ, 今度は [2] を少し変えて
二辺とその間にない角がそれぞれ等しい
を考えてみましょう。
この場合も, やはり, 角がどちらの辺の対角であるかが確定しないので, 二辺が等しくない限り, 三角形が一つに定まりません。
（やっぱり図は省略。自分で考えてみてね。）
じゃあやっぱり, どちらの辺の対角であるか指定すれば, 合同条件になるんじゃね？という疑問が起こります。
ところがどっこい。そうは問屋が卸しません。
[5] 二辺と, 一方の辺の対角がそれぞれ等しい（？）。
以下, 検討。

△ABCと△A'B'C'において, A=A', a=a', c=c' とする。
余弦定理より
$a^2=b^2-2c\cos Ab+c^2$ … (1)

(i) A が直角のとき
(1) より $b^2=a^2-c^2$
ここで, A が直角なので $A>C$ であるから $a>c$
ゆえに $b^2>0$ であるから $b>0$ となる解がただ一つ存在する。

この場合はOKです。
というか, これは [2]' そのものです。
では次。

(ii) A が鈍角のとき
(1) より $b^2-2c\cos Ab+c^2-a^2=0$ … (2)
A が鈍角なので C は鋭角。
よって, 昨日の記事の (1) より b についての方程式 (2) は異なる二つの実数解をもつ。
ニ解を $\alpha$ , $\beta$ とし, それぞれ正とすると
$(b-\alpha)(b-\beta)=0$ より
$b^2-(\alpha+\beta)b+\alpha\beta=0$
このとき b の係数は負である。
ところが, (2) において $c>0$ かつ $\cos A<0$ より b の係数は正。
これは矛盾である。
ゆえに, 異なる二つの実数解がそれぞれ正となることはない。
また, 昨日の記事の結果より, 方程式 (2) は正の解をもつ。
以上により, 方程式 (2) は正の解をただ一つもつ。

この場合もOKでした！
うひょ！
しかし, この次が曲者です。
図をかいてみれば分かるのですが, A が鋭角の場合, 一般に三角形は一つに定まりません。
（例によって図は省略。）
では, さらにどのような条件が満たされればよいのか, 以下で見ていきます。

(iii) A が鋭角のとき
C が直角であれば上記 (i) の a, A を c, C に置き換えることにより三角形が一つに定まることが分かる。
これは実質的に (i) と同じことであるから, C は直角でないと仮定する。
すると, b についての方程式 (2) は異なる二つの実数解をもつ。
それらを $\alpha$ , $\beta$ ( $\alpha<\beta$ ) とおくと
$b^2-(\alpha+\beta)b+\alpha\beta=0$
(2) において $c>0$ かつ $\cos A>0$ より b の係数は負。
よって $\alpha+\beta>0$
また, $\alpha\beta=c^2-a^2$
(iii-i) $\alpha\beta\leq 0$ のとき
$\alpha\beta=c^2-a^2\leq 0$ より $c\leq a$
このとき, 条件より $\alpha\leq 0$ , $\beta>0$ となり, (2) は正の解をただ一つもつ。
(iii-ii) $\alpha\beta>0$ のとき
$\alpha\beta=c^2-a^2>0$ より $c>a$
このとき, 条件より $\alpha>0$ , $\beta>0$ となり, (2) は正の解を二つもつ。