1956年　ニ次　解析2　[2]

平面上の直交軸に関して, 座標がそれぞれ $(1,1)$ , $(-1,1)$ である 2 点を通る放物線
$y=ax^2+bx+c$ ( $a<0$ )
と $x$ 軸が囲む面積の最小値を求めよ。

2 点の座標を代入して
$1=a+b+c$
$1=a-b+c$
これより $b=0$ , $c=1-a$
よって, 放物線は $y=ax^2+(1-a)$ で
$ax^2+1-a=0$ とおくと $a<0$ より $x=\pm\sqrt{\frac{a-1}{a}}$

ここで, 6 分の 1 公式を使ってみます.
高校数学の教科書には載っていないことが多いのですが, 使ったからといってテストで減点されることはないと思います.
放物線 $y=ax^2+bx+c$ と直線 $y=dx+e$ によって囲まれる部分の面積 $S$ は, 放物線と直線の交点の $x$ 座標を $\alpha$ , $\beta$ とおくと
$S=\frac{1}{6}\left|a(\beta-\alpha)^3\right|$

求める図形の面積は $a<0$ より
$-\frac{1}{6}a\left(2\sqrt{\frac{a-1}{a}}\right)^3=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{(a-1)^3}{a}}$
$f(a)=\sqrt{\frac{(a-1)^3}{a}}$ とおくと
$f'(a)=\frac{(2a+1)(a-1)^2}{a^2}$

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline a & \cdots & -\frac{1}{2} & \cdots & 0 \\ \hline f'(a) & - & 0 & + & \\ \hline f(a) & \searrow & & \nearrow & \\ \hline\end{array}$

したがって, 増減表より, 求める図形の面積の最小値は $\frac{4}{3}f\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{3}$