1956年　ニ次　解析2　[3]

$10n$ 本のくじの中に当りくじが $n$ 本ある。
(1) このくじを 10 本引いて, そのうちの 1 本だけが当りくじである確率 $p_n$ を求めよ。
(2) $\lim_{n\rightarrow\infty}p_n$ を求めよ。

(1)
$\frac{_{10n-n}C_{9} _{n}C_{1}}{_{10n}C_{10}$
$=\frac{\frac{9n(9n-1)(9n-2)(9n-3)(9n-4)(9n-5)(9n-6)(9n-7)(9n-8)}{9!}n}{\frac{10n(10n-1)(10n-2)(10n-3)(10n-4)(10n-5)(10n-6)(10n-7)(10n-8)(10n-9)}{10!}}$
$=\frac{9n(9n-1)(9n-2)(9n-3)(9n-4)(9n-5)(9n-6)(9n-7)(9n-8)}{(10n-1)(10n-2)(10n-3)(10n-4)(10n-5)(10n-6)(10n-7)(10n-8)(10n-9)}$

階乗記号を使って簡潔にまとめると
$\frac{(9n)!(10n-10)!}{(9n-9)!(10n-1)!}$
となりますが, 次の問題のことを考えると, 直さない方が賢明です.

(2)

分数で表された式の極限を考える際には, 最高次の項（の係数を除いた部分）で分子・分母を割るのが定石です.
ここでは $n^9$ で割りますが, 各項を $n$ で割ると考えます.

$\lim_{n\rightarrow\infty}p_n$
$=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{9\left(9-\frac{1}{n}\right)\left(9-\frac{2}{n}\right)\left(9-\frac{3}{n}\right)\left(9-\frac{4}{n}\right)\left(9-\frac{5}{n}\right)\left(9-\frac{6}{n}\right)\left(9-\frac{7}{n}\right)\left(9-\frac{8}{n}\right)}{\left(10-\frac{1}{n}\right)\left(10-\frac{2}{n}\right)\left(10-\frac{3}{n}\right)\left(10-\frac{4}{n}\right)\left(10-\frac{5}{n}\right)\left(10-\frac{6}{n}\right)\left(10-\frac{7}{n}\right)\left(10-\frac{8}{n}\right)\left(10-\frac{9}{n}\right)}$
$=\left(\frac{9}{10}\right)^9$
$=0.387420489$