1957年　二次　解析1　[2]

原点を通る直線が, 3 点 $A(1,0)$ , $B(0,1)$ , $C\left(\frac{3}{2},0\right)$ を頂点とする三角形を, 面積の等しい 2 つの部分に分けるとき, その直線の勾配（傾き）を求めよ。

△ABC の面積 S は
$S=\frac{1}{2}\times1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

求める直線の勾配を $m$ とおく.
題意より $m>0$

直線 AB の方程式は $y=-x+1$
直線 $y=mx$ との交点 P の座標は $\left(\frac{1}{m+1},\frac{m}{m+1}\right)$
直線 BC の方程式は $y=-\frac{2}{3}x+1$
直線 $y=mx$ との交点 Q の座標は $\left(\frac{3}{3m+2},\frac{3m}{3m+2}\right)$
△BPQ の面積は, 3 点 $(0,0)$ , $\left(\frac{1}{m+1},\frac{m}{m+1}-1\right)$ , $\left(\frac{3}{3m+2},\frac{3m}{3m+2}-1\right)$ を頂点とする三角形の面積 S' に等しく
$S'=\frac{1}{2}\left|\frac{1}{m+1}\cdot\left(\frac{3m}{3m+2}-1\right)-\left(\frac{m}{m+1}-1\right)\cdot\frac{3}{3m+2}\right|=\frac{1}{2(m+1)(3m+2)}$
$S'=\frac{1}{2}S$ より
$\frac{1}{2(m+1)(3m+2)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}$
整理して
$(3m-1)(m+2)=0$
$m>0$ より $m=\frac{1}{3}$