1957年　二次　幾何　[3] - イガブロギュ

円 $x^2+y^2=1$ と定点 $(a,b)$ がある。この円周上の動点 Q における接線上に点 P をとり, AP=2PQ ならしめるとき, 点 P の軌跡はいかなる図形であるか。また, とくに $a=3$ , $b=-2$ の場合を図示せよ。

$P(x,y)$ とおくと
$AP^2=(x-a)^2+(y-b)^2$
また, OQ⊥PQ なので, 三平方の定理より
$PQ^2=OP^2-OQ^2=x^2+y^2-1$
$AP=2PQ$ より $AP^2=4PQ^2$ なので
$(x-a)^2+(y-b)^2=x^2+y^2-1$
整理して
$\left(x+\frac{a}{3}\right)^2+\left(y+\frac{b}{3}\right)^2=\frac{4}{9}(a^2+b^2+3)$ …(1)
よって, 点 P は円 (1) 上にある.
逆に, 点 P が円 (1) 上にあるとき, 上記の議論を逆にたどることにより, 円 $x^2+y^2=1$ 上の点 Q をとることができる.
以上により, 点 P の軌跡は中心 $\left(-\frac{a}{3},-\frac{b}{3}\right)$ , 半径 $\frac{2}{3}\sqrt{a^2+b^2+3}$ の円である.

$a=3$ , $b=-2$ のときは
中心 $\left(-1,\frac{2}{3}\right)$ , 半径 $\frac{8}{3}$ の円であり, 次のようになる.

この問題も, 図をかけば（思い描けば） OQ⊥PQ であることはすぐに分かるのですが, そこに気付かないと次のようになります.

$P(x,y)$ , $Q(\cos\theta,\sin\theta)$ とおくと
$PQ^2=(\cos\theta-x)^2+(\sin\theta-y)^2=\sin^2\theta+\cos^2\theta-2\{(\cos\theta)x+(\sin\theta)y\}+x^2+y^2=x^2+y^2+1-2\{(\cos\theta)x+(\sin\theta)y\}$
ここで, 点 P は円 $x^2+y^2=1$ 上の点 Q における接線なので
$(\cos\theta)x+(\sin\theta)y=1$
よって,
$PQ^2=x^2+y^2+1-2\cdot1=x^2+y^2-1$

以下同様です.