1958年　一次　理科・衛生看護学科　[1]

東大数学

次の□の中に適当な数を記入せよ。
a, b は実数とする。x^2-4x+a が (x-b)^2 で割り切れるとすれば a=(1)□, b=(2)□ である。また, そのときの商は x^2+(3)□x+(4)□である。


x^4-4x+a=(x-b)^2(x^2+cx+d) とおくと
x^4-4x+a=x^4+(-2b+c)x^3+(b^2-2bc+d)x^2+(b^2c-2bd)x+b^2d
これより
-2b+c=0…(1)
b^2-2bc+d=0…(2)
b^2c-2bd=-4…(3)
b^2d=a…(4)


(1) より c=2b…(5)
これを (2) に代入して
d=3b^2…(6)
(5), (6) を (3) に代入して整理すると
b^3=1 より b=1
ゆえに, (5), (6) より c=2, d=3
さらに, (4) より a=3


以上により
a=3, b=1, c=2, d=3
商は x^2+2x+3