1958年　一次　理科・衛生看護学科　[3]

次の□の中に適当な数を記入せよ。
半径が等しい 2 つの円 $x^2+y^2+8x-10y-44=0$ と $x^2+y^2+$ (9)□ $x+$ (10)□ $y+$ (11)□ $=0$ とは 2 点 $($ (12)□ $,-1)$ と $($ (13)□ $,3)$ で交わり, これら 2 つの円の中心を通る直線の方程式は $x+2y-6=0$ である。

$x^2+y^2+8x-10y-44=0$ を変形すると
$(x+4)^2+(y-5)^2=85$ …(1)
$y=-1$ のとき, (1) に代入して整理すると
$x^2+8x-33=0$ , $(x+11)(x-3)=0$ , $x=-11$ , $3$
$y=3$ のとき, (1) に代入して整理すると
$x^2+8x-65=0$ , $(x+13)(x-5)=0$ , $x=-13$ , $5$
よって, 2 交点の一方 P の座標は $(-11,-1)$ または $(3,-1)$ であり, もう一方 Q の座標は $(-13,3)$ または $(5,3)$ である.
線分 PQ と, 2 つの円の中心を通る直線（傾きは $-\frac{1}{2}$ ）は直交するので, 線分 PQ の傾きは $2$ である.
これを満足する組合せは $P(3,-1)$ , $Q(5,3)$ のみである.
ゆえに, 2 交点の座標は $(3,-1)$ , $(5,3)$

2 つ目の円の方程式を $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ とおくと, 変形して
$(x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2-c$ …(2)
2 つの円の半径は等しいので, (1), (2) より $a^2+b^2-c=85$ …(3)
また, 中心 $(a,b)$ は直線 $x+2y-6=0$ を通るので
$a+2b-6=0$ , $a=-2b+6$ …(4)
(2), (3), (4) より
$\{x-(-2b+6)\}^2+(y-b)^2=85$
これに $(3,-1)$ を代入して整理すると
$b^2-2b-15=0$ , $(b+3)(b-5)=0$ , $b=-3$ , $5$
$b=5$ のとき, (4) より $a=-4$ となり, 2 つの円は一致するので不適.
よって, $b=-3$ で, このとき (4) より $a=12$
さらに (3) より $c=68$
以上により, 2 つ目の円の方程式は
$x^2+y^2-24x+6y+68=0$