1958年　一次　理科・衛生看護学科　[4]

次の□に適当な数を記入せよ。
関数 $y=\sin^4x^{\circ}+\cos^4x^{\circ}$ のとり得る範囲は
(14)□ $\leq y \leq$ (15)□である。また, $y$ の値が $\frac{13}{25}$ になるような $x$ の値は [tex:0
$\sin$ と $\cos$ が入り混じった式はどちらか一方に統一するのが定石です.
ちなみに, [tex:0

$y=\sin^4x^{\circ}+(1-\sin^2x^{\circ})^2=2\sin^4x^{\circ}-2\sin^2x^{\circ}+1=2\left(\sin^2x^{\circ}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}$
$0 \leq \sin^2x^{\circ} \leq 1$ であるから
$\sin^2x^{\circ}=\frac{1}{2}$ のとき $y$ は最小値 $\frac{1}{2}$ をとる.
$\sin^2x^{\circ}=0$ , $1$ のとき $y$ は最大値 $1$ をとる.
よって
$\frac{1}{2}\leq y \leq 1$

$2\sin^4x^{\circ}-2\sin^2x^{\circ}+1=\frac{13}{25}$ とおくと
$(5\sin^2x^{\circ}-2)(5\sin^2x^{\circ}-3)=0$
$\sin^2x^{\circ}=\frac{2}{5}$ , $\frac{3}{5}$
よって $\sin^2\alpha=\frac{3}{5}$ で, $\alpha$ は第一象限の角だから
$\sin\alpha=\sqrt{\frac{3}{5}}$
$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{\frac{2}{5}}$
$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\sqrt{\frac{3}{2}}$