1958年　二次　解析2　[1]

平面上に点列 $P_0$ , $P_1$ , $\cdots$ , $P_n$ , $\cdots$ があって, 点 $P_n$ の座標 $(x_n,y_n)$ と点 $P_{n+1}$ の座標 $(x_{n+1},y_{n+1})$ の間に
$\left\{\begin{array}{l}x_{n+1}=\frac{2}{3}x_n+\frac{1}{3}y_n\\y_{n+1}=\frac{1}{3}x_n+\frac{2}{3}y_n\end{array}\right.$
( $n=0$ , $1$ , $2$ , $\cdots$ )
という関係があるとする。 $n$ が限りなく増すとき, 点 $P_n$ はどのような点に近づくか。この点の座標 $(x,y)$ を $x_0$ , $y_0$ で表わせ。

$x_{n+1}=\frac{2}{3}x_n+\frac{1}{3}y_n$ …(1)
$y_{n+1}=\frac{1}{3}x_n+\frac{2}{3}y_n$ …(2)

(1)+(2) より
$x_{n+1}+y_{n+1}=x_n+y_n=\cdots=x_0+y_0$
よって
$x_n+y_n=x_0+y_0$ …(3)

(1)-(2) より
$x_{n+1}-y_{n+1}=\frac{1}{3}(x_n-y_n)=\left(\frac{1}{3}\right)^2(x_{n-1}-y_{n-1})=\cdots=\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}(x_0-y_0)$
よって
$x_n-y_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n(x_0-y_0)$ …(4)

(3)+(4) より
$2x_n=x_0+y_0+\left(\frac{1}{3}\right)^n(x_0-y_0)$
$x_n=\frac{x_0+y_0+\left(\frac{1}{3}\right)^n(x_0-y_0)}{2}$
よって
$\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\frac{x_0+y_0}{2}$

(3)-(4) より
$2y_n=x_0+y_0-\left(\frac{1}{3}\right)^n(x_0-y_0)$
$y_n=\frac{x_0+y_0-\left(\frac{1}{3}\right)^n(x_0-y_0)}{2}$
よって
$\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=\frac{x_0+y_0}{2}$

以上により
$(x,y)=\left(\frac{x_0+y_0}{2},\frac{x_0+y_0}{2}\right)$