1959年　二次　数学1　幾何　[1]

2 つの円弧 $AC_1B$ と $AC_2B$ が弦 AB と同じ側にあって, いずれも半円より大きいとする。A を通る直線 $l$ が弧 $AC_1B$ , $AC_2B$ と交わる点をそれぞれ $P_1$ , $P_2$ とすれば, $l$ がどのような位置にあるとき線分 $P_1P_2$ の長さが最大となるか。

この手の問題は, 図をかいて色々と実験してみれば, 答えが見えてくることも多くあります.
今の場合, 直線 $l$ と AB が重なるときは $P_1P_2=0$ なので, そこから徐々に $l$ を円弧の側に回転させていくと $P_1P_2$ が大きくなっていって, AB に垂直になったときに $P_1P_2$ が最大になるような感じがします.
実際, その通りになります.
ところで, 私は幾何が苦手なので, 解析的に解いてみます.

$A(0,0)$ , $B(0,2a)$ とし, 弧 $AC_1B$ を含む円 $O_1$ の半径を $r_1$ , 弧 $AC_2B$ を含む円 $O_2$ の半径を $r_2$ とする.
また, 弧 $AC_1B$ , 弧 $AC_2B$ は, $x$ 軸の正の方向の側にあるとする.
円 $O_1$ の方程式は $(x-\sqrt{r_1^2-a^2})^2+(y-a)^2=r_1^2$ …(1)
円 $O_2$ の方程式は $(x-\sqrt{r_2^2-a^2})^2+(y-a)^2=r_2^2$ …(2)
$l$ が AB と重なるときは $P_1P_2=0$ となり不適.
直線 $l$ を $y=mx$ とおく.
(1) に代入すると
$x^2-2\sqrt{r_1^2-a^2}x+r_1^2-a^2+m^2x^2-2amx+a^2=r_1^2$
$(m^2+1)x^2-2(\sqrt{r_1^2-a^2}+am)x=0$
$x=0$ , $\frac{2(\sqrt{r_1^2-a^2}+am)}{m^2+1}$
$P_1$ の $x$ 座標は正なので, $P_1\left(\frac{2(\sqrt{r_1^2-a^2}+am)}{m^2+1},\frac{2m(\sqrt{r_1^2-a^2}+am)}{m^2+1}\right)$
同様に, $P_2\left(\frac{2(\sqrt{r_2^2-a^2}+am)}{m^2+1},\frac{2m(\sqrt{r_2^2-a^2}+am)}{m^2+1}\right)$
よって
$P_1P_2^2=\left\{\frac{2}{m^2+1}(\sqrt{r_1^2-a^2}-\sqrt{r_2^2-a^2})\right\}^2(m^2+1)$
$=\frac{4}{m^2+1}(\sqrt{r_1^2-a^2}-\sqrt{r_2^2-a^2})^2$
ゆえに, $m=0$ のとき, つまり直線 $l$ が AB に垂直なとき, $P_1P_2$ は最大になる.

これで -3 問…。