1959年　二次　数学1　代数　[2]

井戸に小石を落としたところ, 小石が水面に達した音が $t$ 秒後に聞こえた。

(1)
重力の加速度を $g$ m/秒 $^2$ , 音の速度を $c$ m/秒, 地面から水面までの距離を $d$ m とするとき, $d$ を $g$ , $c$ , $t$ で表わせ。ただし空気の抵抗は無視するものとする。

(2)
音が伝わるのに要する時間を無視すれば, $d$ の近似値として $d'=\frac{1}{2}gt^2$ が得られる。
このとき, 相対誤差 $\frac{d'-d}{d}$ が与えられた正数 $\alpha$ より小さくなるために, $t$ は $g$ , $c$ , $\alpha$ によって定まるある限界より小さくなければならない。この限界を求めよ。

「東京大学数学入試問題50年」には「 $d$ の近似値として」のところが「 $\alpha$ の近似値として」と書かれてありますが, これは明らかに誤植です.
この本は誤植が多いような気がしますが, 資料としての価値はとても高いと思います.

物理の公式をどの程度まで使ってよいものやら分かりません.
惜しげもなく使っちゃいます.

(1)
小石が $t_1$ 秒後に水面に達し, それから $t_2$ 秒後に音が聞こえたとすると
$t_1+t_2=t$
$\frac{1}{2}gt_1^2=d$ …(1)
$ct_2=d$
これより
$\frac{1}{2}gt_1^2=c(t-t_1)$
$gt_1^2+2ct_1-2ct=0$
$t_1>0$ より
$t_1=\frac{-c+\sqrt{c^2+2cgt}}{g}$
(1) に代入して
$d=\frac{1}{2}g\left(\frac{-c+\sqrt{c^2+2cgt}}{g}\right)^2$
$=\frac{1}{2g}(2c^2+2cgt-2c\sqrt{c^2+2cgt})$
$=\frac{c}{g}(c+gt-\sqrt{c^2+2cgt})$

ちなみに $t_2$ の方を先に求めようとして方程式を解くと
$\frac{c+gt\pm\sqrt{c^2+2cgt}}{g}$
が出てきて, どちらが $t_2$ なのか若干分かりにくいです.
実際は [tex:t_2

(2)
$\frac{d'-d}{d}<\alpha$ , $d>0$ , $g>$ , $\alpha>0$ , $t_1>0$ , $t_2>0$ より
$d'<(1+\alpha)d$
$\frac{1}{2}gt^2<(1+\alpha)\times\frac{1}{2}gt_1^2$
$t<\sqrt{1+\alpha}t_1$
$t<\sqrt{1+\alpha}\times\frac{-c+\sqrt{c^2+2cgt}}{g}$
$gt+c\sqrt{1+\alpha}<\sqrt{(1+\alpha)(c^2+2cgt)}$
両辺を 2 乗して
$g^2t^2+2cg\sqrt{1+\alpha}t+c^2(1+\alpha)<(1+\alpha)(c^2+2cgt)$
$g^2t^2<2cg(1+\alpha-\sqrt{1+\alpha})t$
$t<\frac{2c}{g}(1+\alpha-\sqrt{1+\alpha})$
よって, 限界は $\frac{2c}{g}(1+\alpha-\sqrt{1+\alpha})$