1960年　ニ次　数学1　代数　[1]

三角形 ABC の辺 AB 上に点 P をとり, BP の中点を Q とする。次に, P, Q から BC に平行線を引いて AC との交点をそれぞれ R, S とする。台形 PQSR の面積が最大になるときの AP の長さと台形 PQSR の面積を求めよ。ただし辺 AB の長さを $a$ , 三角形 ABC の面積を $s$ とする。

$AP=x$ とおくと, $PQ=\frac{a-x}{2}$ , $AQ=AP+PQ=x+\frac{a-x}{2}=\frac{a+x}{2}$
よって, △APR と △AQS と △ABC の面積比は $x^2:\left(\frac{a+x}{2}\right)^2:a^2$
△ABC の面積は $s$ だから
△APR の面積は $=\left(\frac{x}{a}\right)^2s$
△AQS の面積は $\left(\frac{a+x}{2a}\right)^2s$
ゆえに, 台形 PQSR の面積は, △AQS の面積から △APR の面積を引いて
$\left(\frac{a+x}{2a}\right)^2s-\left(\frac{x}{a}\right)^2s$
$=-\frac{3s}{4a^2}\left(x^2-\frac{2a}{3}x\right)+\frac{s}{4}$
$=-\frac{3s}{4a^2}\left(x-\frac{a}{3}\right)^2+\frac{s}{3}$
したがって, $AP=\frac{a}{3}$ のとき台形 PQSR の面積は最大値 $\frac{s}{3}$ をとる.