分割数と多項係数と2のべき乗の関係

分割数について考えているうちに、一つの公式が出来上がりました。
まずは記号の定義から。
整数 n の分割全体の集合を $\Lambda(n)$ で表し、分割 $\lambda \in \Lambda(n)$ に含まれる i の個数を $\lambda_i$ で表します。
例えば、
5
= 1+1+1+1+1
= 1+1+1+2
= 1+2+2
= 1+1+3
= 2+3
= 1+4
= 5
なので、5 の分割は 7 種類があり、それぞれにおける 1 の個数、2 の個数、…、5 の個数を順に書き並べると
$\Lambda(5) = \{(5,0,0,0,0),(3,1,0,0,0),(1,2,0,0,0),(2,0,1,0,0),(0,1,1,0,0),(1,0,0,1,0),(0,0,0,0,1)\}$
となります。
したがって、例えば $\lambda=(2,0,1,0,0)$ に対して、 $\lambda_1 = 2$ , $\lambda_3=1$ です。
それから、 $\lambda$ の多項係数 $C(\lambda)$ を次のように定義します。
$C(\lambda) = C(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n) = \frac{\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n \lambda_i \right)!}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \lambda_i!}$
このとき、次が成り立ちます。