じゃんけんは難しいぞ

昨日、とあるサイトで、n人でじゃんけんをしてあいこになる確率の求め方で、画期的なものを見つけました。
あいこになるというのは、要するにn人が勝ちと負けに分かれることの余事象なので、そちらの方を先に考えれば良いのです。
n人が勝ちと負けに分かれるのは、k人(1≦k≦n-1)が勝つとすると、その選び方が通りあって、何で勝つかで通り。
よって、求める確率は



終わり。
最後のところで、二項定理を使いました。

いやはや。自分が以前に使った方法よりも、こちらの方が100倍簡単ですね。

んで、あいこになる確率が分かったので、次はn人でじゃんけんを最後の一人になるまで続けたとき、平均で何回のじゃんけんが必要か、という問題について考えてみました。
要するに、最後の一人になるまでの回数の期待値を求める問題です。
k回目に初めて最後の一人が決まる確率をとおくと、求める期待値は

と、なります。
したがって、を求めることができれば何とかなりそうですが、これが難しいのです。
もっと一般に、k回目のじゃんけんの結果、初めてr人になる確率をとおくと、こちらはもっと難しいのです。
なので。
難しい。難しい…。