公式、作りました。 - イガブロギュ

3項間漸化式によって定義される数列の一般項は、初等的に求めることができますが、各項が整数であっても、一般項を表す式の中に根号や虚数単位が含まれてしまうことがあり、それではあまり美しくありません。
そこで、根号や虚数単位を含まない形で一般項を表すことはできないかと考え、今日は公式を導いてみました。

三項間漸化式
$af_{n+2}+bf_{n+1}+cf_n=0$
によって定義される数列の一般項は、その特性方程式が重解を持たないとき、 $n \geq 3$ ならば
$f_n=(\frac{1}{a})^{n-2}\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n-3}{2} \rfloor}(-1)^{n-i} a^i b^{n-3-2i} c^i$
$\times (b f_2\cdot {}_{n-2-i}C_{i}+c f_1 \cdot {}_{n-3-i}C_{i})+\frac{1+(-1)^n}{2} f_2 \cdot (-\frac{c}{a})^{\lfloor \frac{n-2}{2} \rfloor}$
で、表されます。

わー。とっても便利！とっても美しい！（冗談）
証明は、来年に書きます。