定数係数線形差分方程式の解の公式

ふと思い立って、同次とは限らない一般の定数係数線形差分方程式の解の公式を作ってみました。

定数係数 $r$ 階線形差分方程式
$f_{n+r} -e_1 f_{n+r-1} +e_2 f_{n+r-2} - \cdots +(-1)^r e_r f_n = g(n)$
によって定義される数列 $\{f_n\}$ について, その一般項 $f_n$ は $n > r$ のとき, 次式で与えられる.
$f_n = \sum_{i=1}^r f_i \sum_{\lambda \in \Lambda(n-i,r+1-i,r)} (-1)^{n-i+\sum_{k=1}^r \lambda_k} \sum_{j=r+1-i}^r \frac{\displaystyle \left(\sum_{k=1}^r \lambda_k-1 \right)!}{\displaystyle \prod_{k=1}^r \lambda_k!}\lambda_j \prod_{k=1}^r e_k^{\lambda_k}$
$+ \sum_{i=1}^{n-1} g(i) \sum_{\lambda \in \Lambda(n-r-i,0,r)} (-1)^{n-r-i+\sum_{k=1}^r \lambda_k} \frac{\displaystyle \left(\sum_{k=1}^r \lambda_k \right)!}{\displaystyle \prod_{k=1}^r \lambda_k!}\prod_{k=1}^r e_k^{\lambda_k}$
ここで, $\Lambda(a,b,c)$ は自然数 $a$ の分割のうち, 最大数が $b$ 以上 $c$ 以下であるもの全体からなる集合を表し, $\lambda_k$ は分割 $\lambda$ における自然数 $k$ の個数を表す.

まだ、証明はしていません。
ああ、証明しなきゃ。
ただ、同次の場合の証明を利用することができますので、そう難しくはないかと思われます。