分出の公理(Separation Schema)

分出の公理
$\forall X \forall p \exists Y \forall u(u \in Y \leftrightarrow u \in X \wedge \varphi(u,p))$

$\varphi(u,p)$ は適当な論理式です.
集合 $X$ に対して, その要素で $\varphi(u,p)$ を満たすもの全てを集めた集合 $Y$ が存在すると主張してます.
この $Y$ を $Y=\{u \in X:\phi(u,p)\}$ と書くことにします.
これも外延性の公理から一意に定まります.
$p$ はパラメータです.
パラメータはいくつでも増やすことができます.
分出の公理はラッセルのパラドックスが起きないよう, パラメータの及ぶ範囲を予め与えられた集合 $X$ の要素のみに絞っています.
集合 $X$ の一部は集合 $X$ よりは大きくなり得ないことから, 充分に小さく, したがって集合であると考えても問題ないだろう, ということです(ラッセルのパラドックスは, 大きすぎる"集まり"を考えてしまったのが原因です.).
厳密に言うと, 分出の公理は各論理式毎に与えられるものなので, 公理と言うよりむしろ公理図式です(Schema は図式の意).
クラスの概念を使うと, もっと簡単な形で表現できます.
ここでクラスとは
$C=\{u:\varphi(u,p)\}$
で定義されるもので, ラッセルのパラドックスから全てのクラスが集合になるわけではないことが分かり, 集合論の内部では集合しか扱えないことから, 集合でないクラス(真のクラス)は集合論の内部で直接的に扱うことができないのですが, 予め $C=\{u:\varphi(u,p)\}$ を定めておけば, $\varphi(u,p)$ の略記として $u \in C$ と書くことができることが, クラスというものを考える利点です.
集合論の宇宙(univerce)と呼ばれる, 集合論の世界は
$V=\{x:x=x\}$
で定義されます.
$C=\{u:\varphi(u,p)\}$ とすると,今の場合, 分出の公理は
$\forall X \exists Y(Y = C \cap X)$
と表すことができます.
このことから, 任意のクラスと任意の集合の交わり(intersection)は集合になることが分かり, したがって任意の集合と別の任意の集合の交わりもまた集合になることが分かります.
そんなわけで, 集合の共通部分を定義することができます.
$X \cap Y=\{u \in X:u \in Y\}$
ここで $u \in Y$ の部分が分出の公理における論理式にあたります.
同様にして, 差集合
$X \setminus Y=\{u \in X:u \notin Y\}$
も定義できます.
さて, 今まで集合というものが確かに存在するということを前提に話してきましたが, それは実は明らかなことではありません.
そこで, この世界には少なくとも一つは集合というものが存在するという公理
$\exists X(X=X)$
が必要になってくるのですが, あとで述べる無限の公理から集合というものが存在することが帰結するので, 通常は集合の存在公理は ZFC に含めたりはしません.
それはともかく, 集合が少なくとも一つ存在したとし, それを $X$ とおくと, 要素を一つも持たない集合=空集合 $\emptyset$ を定義できます.
すなわち,
$\emptyset = \{u \in X:u \neq u\}$
です.
$\forall u(u=u)$
は一階述語論理において成り立っているので, $u \neq u$ なる集合 $u$ は存在しないのです.
これで, また新しい概念について考えることができるようになります.
$X \cap Y = \emptyset$
のとき, $X$ と $Y$ は互いに素(disjoint)であると言います.
$C$ が空集合でないクラスのとき,
$\bigcap C=\bigcap \{X:X \in C\} = \{u:\forall X \in C(u \in X)\}$
と定義します(最初の二つは最後の一つを表す記法です).
すると, $C$ は集合になります.
実際, 任意の $X \in C$ に対して $\bigcap C=(\bigcap C) \cap X$ なので, クラスと集合の交わりが集合であることにより確かめられます.
それから,
$X \cap Y=\bigcap \{X,Y\}$
です.