順序数の演算 - イガブロギュ

自然数に足し算, 掛け算, べき乗が定義できたように, 順序数にもそれらを定義することができます.
ここで, 超眼再帰が大活躍します.

足し算
任意の順序数 $\alpha$ について
(i) $\alpha + 0 = \alpha$ .
(ii) 任意の順序数 $\beta$ に対して $\alpha + (\beta + 1) = (\alpha + \beta) + 1$ .
(iii) 任意の極限順序数 $\beta > 0$ に対して $\alpha + \beta = \rm{sup}\{\alpha + \xi:\xi < \beta\}$ .

足し算は二項演算ですが, 超眼再帰における $G_1$ , $G_2$ , $G_3$ として, 各 $\alpha$ ごとに上記のような関数を定義すればよいのです.
つまり, 次のようになります.

(i) $F(0) = G_1(0)$ .
(ii) 任意の順序数 $\beta$ に対して $F(\beta+1) = G_2(F(\beta))$ .
(iii) 任意の極限順序数 $\beta > 0$ に対して $F(\beta) = G_3(F|\beta)$ .
ここで, $G_1$ , $G_2$ , $G_3$ はそれぞれ
$G_1(0) = \alpha$
$G_2(F(\beta)) = (\alpha + \beta) + 1$
$G_3(F|\beta) = \rm{sup}\{\alpha + \xi:\xi < \beta\}$
を満たすものとする.
(定義の中に $F$ が入っていますが, これを任意の超眼列だと考えれば問題ありません.)

もしくは, 二変数のクラス関数 $G:V \times V \rightarrow V$ を考えても構いません.
それでも超眼再帰が成り立つことは明らかです.
こんな調子で, 掛け算とべき乗も定義します.

掛け算
任意の順序数 $\alpha$ について
(i) $\alpha \cdot 0 = 0$ .
(ii) 任意の順序数 $\beta$ に対して $\alpha \cdot (\beta + 1) = \alpha \cdot \beta + \alpha$ .
(iii) 任意の極限順序数 $\beta > 0$ に対して $\alpha \cdot \beta = \rm{sup}\{\alpha \cdot \xi:\xi < \beta\}$ .

べき乗
任意の順序数 $\alpha$ について
(i) $\alpha^0 = 1$ .
(ii) 任意の順序数 $\beta$ に対して $\alpha^{\beta + 1} = \alpha^{\beta} \cdot \alpha$ .
(iii) 任意の極限順序数 $\beta > 0$ に対して $\alpha^{\beta} = \rm{sup}\{\alpha^{\xi}:\xi < \beta\}$ .

これらの定義はごく自然なものであるように感じられます.
足し算と掛け算は, 結合法則を満たします.

補題
任意の順序数 $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ について
(i) $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$ .
(ii) $\alpha (\beta \cdot \gamma) = (\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma$ .

証明
(i) $\gamma$ について成り立っていると仮定します.
このとき,
$(\alpha + \beta) + (\gamma + 1)$
[tex: = *1 + 1] (帰納法の仮定より交換法則が成り立っていることによる)
[tex:=\alpha + *2] (再び, 交換法則)
したがって, 後続順序数については成り立つことが分かりました.
次に, $\gamma > 0$ を極限順序数とし, $\gamma$ より小さい任意の順序数について (i) が成り立っていると仮定します.
最初, $\beta + \gamma$ が極限順序数であることを見ます.
$\xi < \beta + \gamma$ ならば, ある $\delta < \gamma$ が存在して $\xi \leq \beta + \delta$ となるので, $\xi + 1 \leq (\beta + \delta) + 1 = \beta + (\delta + 1) < \beta + \gamma$ .
というわけです.
したがって,
$(\alpha + \beta) + \gamma$
$= \rm{sup}\{(\alpha + \beta) + \delta:\delta < \gamma\}$ (定義より)
$= \rm{sup}\{\alpha + (\beta + \delta) : \delta < \gamma\}$ (交換法則より)
$= \rm{sup}\{\alpha + \xi : \xi < \beta + \gamma\}$ ( $\rm{sup}\{\beta + \delta:\delta < \gamma\} = \beta + \gamma$ より)
$= \alpha + (\beta + \gamma)$ ( $\beta + \gamma$ が極限順序数であることと定義より)
です.
(ii) 同様.

さて, 足し算と掛け算は結合法則を満たしますが, 残念ながら交換法則は満たしません.
実際,
$1 + \omega = \rm{sup}\{1 + n:n < \omega} = \omega \neq \omega + 1$ ,
$2 \cdot \omega = \rm{sup}\{2 \cdot n:n < \omega\} = \omega \neq \omega + \omega = \omega \cdot 2$
です.
他, 順序数の演算について, いくつかの性質を並べておきます.

(i) $\beta < \gamma$ ならば $\alpha + \beta < \alpha + \gamma$ .
(ii) $\alpha < \beta$ ならば, ある $\delta$ が存在して, $\alpha + \delta = \beta$ .
(iii) $\beta < \gamma$ かつ $\alpha > 0$ ならば $\alpha \cdot \beta < \alpha \cdot \gamma$ .
(iv) $\alpha > 0$ と $\gamma$ に対して, ある $\beta$ , $\rho < \alpha$ が一意に存在して, $\gamma = \alpha \cdot \beta + \rho$ .
(v) $\beta < \gamma$ かつ $\alpha > 1$ ならば $\alpha^{\beta} < \alpha^{\gamma}$ .

証明は, 気が向いたらします.

*1:\alpha + \beta) + \gamma) + 1] (定義より) [tex:=(\alpha + (\beta + \gamma

*2:\beta + \gamma) + 1)] (定義の逆) [tex:=\alpha + (\beta + (\gamma + 1