1957年　二次　解析2　[3]

右の図のように基盤の目の形に並んでいる 20 個の点から, 同一直線上にない 3 個の点を選んで, それらを頂点とする三角形を作る。全部でいくつの三角形ができるか。

20 個の点から異なる 3 点を選ぶ組合せは $_{20}C_{3}=1140$ 通り.
このうち, 3 点が同一直線上にあるものを除く.

(i) 3 点が横一列に並ぶとき

$_{5}C_{3}\times4=40$ 通り.

(2) 3 点が縦一列に並ぶとき

$_{4}C_{3}\times5=20$ 通り.

(3) 3 点が傾き 1 の直線上にあるとき

$_{3}C_{3}\times2+_{4}C_{3}\times2=10$ 通り.

(4) 3 点が傾き -1 の直線上にあるとき

(3) と同様に $10$ 通り.

(5) 3 点が傾き $\frac{1}{3}$ または $-\frac{1}{3}$ の直線上にあるとき

$4$ 通り.

以上により
$1140-(40+20+10+10+4)=1056$ 個.

(5) のパターンを見落としがちです.
私も見落としました.
てへっ.