1959年　二次　数学1　代数　[1]

平面上の点 $(x,y)$ に
$\left\{\begin{array}x'=2x+y\\y'=3x+2y\end{array}$
によって定まる点 $(x',y')$ を対応させる。

(1) 4 点 $(0,0)$ , $(a,0)$ , $(0,b)$ , $(a,b)$ を頂点とする長方形は, この対応によってどのような図形にうつるか。図をかいて説明せよ。ただし $a>0$ , $b>0$ とする。

(2) その図形の面積ともとの長方形の面積との比を求めよ。

(1)
$O(0,0)$ , $A(a,0)$ , $B(a,b)$ , $C(0,b)$ とおく.
それぞれは点
$O'(0,0)$ , $A'(2a,3a)$ , $B'(2a+b,3a+2b)$ , $C'(b,2b)$ にうつる.
$\vec{O'A'}=\vec{C'B'}=(2a,3a)$
$\vec{O'C'}=\vec{A'B'}=(b,2b)$
よって, 四角形 O'A'B'C' は平行四辺形である.
また, OA 上の点 $(k,0)$ ( $0 \leq k \leq a$ ) は $(2k,3k)$ にうつり,
$k$ を $0$ から $a$ まで変化させると, O'A' 上のすべての点をわたる.
AB 上の点, BC 上の点, CO 上の点についても同様のことがいえる.
よって, 長方形は $O'(0,0)$ , $A'(2a,3a)$ , $B'(2a+b,3a+2b)$ , $C'(b,2b)$ を頂点とする平行四辺形にうつる.
(図は省略)