1959年　一次　文科　[4] - イガブロギュ

次の□の中に適当な数を記入せよ。
直角三角形 ABC において, ∠ $A=90^{\circ}$ , $AB=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ , $AC=\frac{5}{2}$ である。いまこの三角形と同じ平面上にあって A を通る直線 l をこの三角形の外側に引き, B, C から直線 l におろした垂線の足をそれぞれ P, Q とする。直線 l が AC となす角を $\alpha$ ( $0^{\circ}\leq\alpha\leq90^{\circ}$ ) とすれば,

(1) PQ が最大となるのは $\alpha=$ (13)□ $^{\circ}$ のときであって, その最大値は (14)□である。

(2) BP+CQ が最大となるのは $\alpha=$ (15)□ $^{\circ}$ のときであって, その最大値は (16)□である。

$AP=\frac{5\sqrt{3}}{2}\cos(90^{\circ}-\alpha)=\frac{5\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$
$AQ=\frac{5}{2}\cos\alpha$
よって
$PQ=AP+AQ$
$=5\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha+\frac{1}{2}\cos\alpha\right)$
$=5(\sin60^{\circ}\sin\alpha+\cos\60^{\circ}\cos\alpha)$
$=5\cos(60^{\circ}-\alpha)$
ゆえに, $\alpha=60^{\circ}$ のとき, PQ は最大値 $5$ をとる.

$BP=\frac{5\sqrt{3}}{2}\sin(90^{\circ}-\alpha)=\frac{5\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$
$CQ=\frac{5}{2}\sin\alpha$
よって
$BP+CQ$
$=5\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha+\frac{1}{2}\sin\alpha\right)$
$=5(\sin60^{\circ}\cos\alpha+\cos60^{\circ}\sin\alpha)$
$=5\sin(60^{\circ}+\alpha)$
ゆえに, $\alpha=30^{\circ}$ のとき, BP+CQ は最大値 $5$ をとる.

まだ-5問です…。先は長い。
何か間違いなどありましたら, お気軽にコメントをもらえるとありがたいです。